AI 中文总结
该研究将Jacobi与Madden关于四次方程无穷多本原解的结论推广到$e=a+k^3(b+c+d)$的有理立方关系，证明$k=3$及另外10个$k\ne1$时方程有无穷多解，整理了30个初始解。
AI 中文摘要
2008年，Jacobi和Madden证明了方程$a^4+b^4+c^4+d^4=e^4$在满足线性关系$e=a+b+c+d$时存在无穷多本原解。我们将他们的结果推广到有理立方关系$e=a+k^3(b+c+d)$，并证明当$k=3$及另外10个$k\ne1$时该方程有无穷多解。我们整理了30个初始解，遵循Jacobi和Madden原论文的风格，除Mazur的一个定理外，其余内容均为简单代数推导。
英文摘要
In 2008, Jacobi and Madden proved that $a^4+b^4+c^4+d^4=e^4$ has infinitely many primitive solutions with the linear relation $e=a+b+c+d$. We extend their result to relations with rational cubes $e=a+k^3(b+c+d)$ and prove infinitude for $k=3$ and $10$ other $k\ne 1$. We compile $30$ starting solutions. In the spirit of Jacobi and Madden's original paper, everything here is simple algebra except one theorem of Mazur.
Comments14 pages, 5 tables
