最优范围内的粗椭圆性与De Giorgi-Nash-Moser理论
Coarse ellipticity and De Giorgi-Nash-Moser theory in the optimal range
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本研究将De Giorgi-Nash-Moser理论推广至满足粗椭圆性条件的可能退化且无界的对称系数椭圆方程，证明了相关不等式并确定了最优系数范围。
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我们将De Giorgi-Nash-Moser理论推广至具有对称系数$\mathbf{a}(x)$的椭圆方程，这类方程可能退化且无界，但满足粗椭圆性条件。我们证明了弱下解的局部上界、非负上解的弱Harnack不等式，以及非负解的Harnack不等式。粗椭圆性假设要求粗粒化矩阵的空间矩经适当折扣并跨尺度求和后为有限值。特别地，若对某些$\alpha,\beta\geq0$和$1<p,q<\infty$，有$$\mathbf{a}\in W^{-\alpha,p}\cap L^1, \quad \mathbf{a}^{-1}\in W^{-\beta,q}\cap L^1 \quad\text{and}\quad \frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{d-1}{2}\Big(\frac1p+\frac1q\Big)<1.$$，则该假设成立。我们证明系数范围在各维数$d\geq3$中是尖锐的，包括其边界，适用于$\alpha=\beta=0$，以及当$\alpha,\beta>0$时对应的负阶Besov型拟范数。当$\alpha=\beta=0$时，该结果对应Bella与Schäffner[8]的成果。
英文摘要
We extend the theory of De Giorgi-Nash-Moser to elliptic equations with symmetric coefficients $\mathbf{a}(x)$ which are possibly degenerate and unbounded but satisfy a coarse ellipticity condition. We prove local upper bounds for weak subsolutions, a weak Harnack inequality for nonnegative supersolutions, and a Harnack inequality for nonnegative solutions. The coarse ellipticity hypothesis requires spatial moments of coarse-grained matrices, suitably discounted and summed across scales, to be finite. In particular, it holds if, for some $α,β\geq0$ and $1<p,q<\infty$, $$\mathbf{a}\in W^{-α,p}\cap L^1, \quad \mathbf{a}^{-1}\in W^{-β,q}\cap L^1 \quad\text{and}\quad \frac{α+β}{2}+\frac{d-1}{2}\Big(\frac1p+\frac1q\Big)<1.$$ We show that the coefficient range is sharp, including its boundary, in every dimension $d\geq3$, for $α=β=0$ and for the corresponding Besov-type quasi-norms of negative order when $α,β>0$. For $α=β=0$, it corresponds to the results of Bella and Schäffner [8].
发表机构
- CNRS & Laboratoire Jacques-Louis Lions, Sorbonne Université（法国国家科学研究中心与雅克-路易·利翁斯实验室，索邦大学）
- Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学库朗数学科学研究所）
- Department of Mathematics, Uppsala University（乌普萨拉大学数学系）
- Department of Mathematics and Statistics, University of Helsinki（赫尔辛基大学数学与统计系）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
