非退化的若干方面：中心型因子群、海森堡表示与阿达马矩阵
Facets of nondegeneracy: central type factor groups, Heisenberg representations and Hadamard matrices
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中文总结 AI 辅助
该研究针对有限群的互补子群对，探讨双1-上同调与海森堡型射影表示、二阶上同调的关联，证明相关表示非退化的等价条件，并以辛幂零李代数为例验证结论。
中文摘要 AI 辅助
给定有限群G的一对互补子群P和N，我们首先讨论一类相同类型的函数$\boldsymbol{\textit{E}}\boldsymbol{\textit{:}}\boldsymbol{\textit{P}}\boldsymbol{\times}\boldsymbol{\textit{N}}\boldsymbol{\to}\boldsymbol{\textit{T}}$（我们称之为双1-上同调）如何自然出现在G的海森堡型射影表示、G的二阶上同调及其对偶量子群$\boldsymbol{\textit{\textit{G}}}$的研究中。随后我们证明，这类表示是不可约的，且对应的普通和对偶2-上同调非退化当且仅当矩阵$\boldsymbol{(\boldsymbol{\textit{E}}\boldsymbol{(}\boldsymbol{p}\boldsymbol{,}\boldsymbol{n}\boldsymbol{))}_{\boldsymbol{p}\boldsymbol{,}\boldsymbol{n}}}$可逆，当且仅当它是阿达马矩阵。我们以有限域上带有两个互补拉格朗日子代数的辛幂零李代数为例说明该结果。
英文摘要
Given a pair of complementary subgroups $P$ and $N$ of a finite group $G$, we first discuss how the same type of functions $\mathbb E\colon P\times N\to \mathbb T$, which we call bi-$1$-cocycles, appear naturally in the study of projective representations of $G$ of Heisenberg type and second cohomology of $G$ and of its dual quantum group $\widehat G$. We show then that such representations are irreducible and the corresponding ordinary and dual $2$-cocycles are nondegenerate if and only if the matrix $(\mathbb E(p,n))_{p,n}$ is invertible, if and only if it is Hadamard. We illustrate the result with examples arising from symplectic nilpotent Lie algebras over finite fields with two complementary Lagrangian subalgebras.
发表机构
- Université Catholique de Louvain（天主教鲁汶大学）
- Université de Reims Champagne-Ardenne（兰斯香槟-阿登大学）
- University of Oslo（奥斯陆大学）
- OsloMet - storbyuniversitetet（奥斯陆城市大学）
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