发表机构
Leibniz Universität Hannover; Institut für Angewandte Mathematik（汉诺威莱布尼茨大学; 应用数学研究所）
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该研究证明了具有局部各向异性和非线性扩散的Keller-Segel系统的弱解整体存在，通过近似方程组取极限的方法完成证明，核心挑战是相关项的弱收敛性证明。
AI 中文摘要
我们证明了如下偏微分方程组的弱解在光滑有界区域Ω⊆ℝⁿ（n为自然数）中，当具有非负初始条件和齐次Neumann边界条件时的整体存在性，该方程组的两个方程均含非线性扩散，且信号产生具有各向异性：\begin{cases} u_t=\nabla\cdot((u+1)^{m_1-1}\nabla u)-\nabla\cdot(u\nabla v), \\\\ v_t=\nabla\cdot((v+1)^{m_2-1}\nabla v)+\nabla\cdot(u\nabla v)-v+u, \end{cases} 此外，我们证明了u在L^∞((0,∞);L^{m_1}(Ω))中、v在L^∞(Ω×(0,∞))中有界。研究策略是先证明近似方程组的经典解(u_ε,v_ε)的整体存在性与有界性，该近似方程组为\begin{cases} u_{ε t}=\nabla\cdot((u_ε+1)^{m_1-1}\nabla u_ε) -\nabla\cdot(\frac{u_ε\nabla v_ε}{1+ε\vert\nabla v_ε\vert}), \\\\ v_{ε t}=\nabla\cdot((v_ε+1)^{m_2-1}\nabla v_ε)+\nabla\cdot(u_ε\nabla v_ε)-v_ε+u_ε. \end{cases} 当ε→0时取极限，可得到第二个方程组的弱解收敛到第一个方程组的弱解。主要挑战之一是证明\frac{\nabla v_ε}{1+ε\vert\nabla v_ε\vert}在L^2(Ω×(0,T))（T∈(0,∞)）中弱收敛到∇v。
英文摘要
We show global existence of weak solutions to the following system of partial differential equations with nonlinear diffusion in both equations and anisotropic signal production \begin{equation} \begin{cases} u_t=\nabla\cdot((u+1)^{m_1-1}\nabla u)-\nabla\cdot(u\nabla v), \\ v_t=\nabla\cdot((v+1)^{m_2-1}\nabla v)+\nabla\cdot(u\nabla v)-v+u, \end{cases} \end{equation} in a smooth bounded domain $Ω\subseteq\mathbb{R}^n$, $n\in\mathbb{N}$ with nonnegative initial data and homogenuous Neumann boundary conditions. Moreover, we show boundedness of $u$ in $L^\infty((0,\infty);\:L^{m_1}(Ω))$ and $v$ in $L^\infty(Ω\times(0,\infty))$. The strategy will be to show global existence and boundedness of classical solutions $(u_\varepsilon,v_\varepsilon)$ to the approximating system \begin{equation} \begin{cases} u_{\varepsilon t}=\nabla\cdot((u_\varepsilon+1)^{m_1-1}\nabla u_\varepsilon) -\nabla\cdot(\frac{u_\varepsilon\nabla v_\varepsilon}{1+\varepsilon\vert\nabla v_\varepsilon\vert}), \\ v_{\varepsilon t}=\nabla\cdot((v_\varepsilon+1)^{m_2-1}\nabla v_\varepsilon)+\nabla\cdot(u_\varepsilon\nabla v_\varepsilon)-v_\varepsilon+u_\varepsilon. \end{cases} \end{equation} Passing to the limit $\varepsilon\searrow 0$, we obtain convergence of weak solutions of the second to weak solutions of the first system. One of the main challenges lie in the proof of weak convergence of $\frac{\nabla v_\varepsilon}{1+\varepsilon\vert\nabla v_\varepsilon\vert}$ to $\nabla v$ in $L^2(Ω\times(0,T))$ for $T\in(0,\infty)$.
