发表机构
University of Toronto（多伦多大学）
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针对随机矩阵理论中 β-ensemble 的边缘特征值，本文对第 k 大特征值等的尾渐近建立了最优偏差界，获得了新随机控制结果，完善了相关极限分布的尾估计。
AI 中文摘要
Hermite 和 Laguerre β-ensemble 是随机矩阵理论中重要且被广泛研究的模型，其中特殊情况 β=1、2、4 对应经典矩阵系综。尽管已针对最大特征值建立了精确的中偏差估计，但对其他边缘特征值的了解仍少得多。即使对于极限分布 TW_β^{(k)}，当 β 为一般值且 k≥2 时，尾渐近中的主导常数也未知。本文中，对于每个固定的 k≥2，我们证明了第 k 大特征值右尾的匹配上下中偏差界，对于一般 β，其最优指数常数为 2βk/3。我们还建立了高斯和 Laguerre 正交系综第二大特征值的精确下尾估计，其指数常数为 1/24，与最大特征值的指数常数相同。对于 TW_β^{(k)}，我们得到了当 β≥2/k 时的右尾渐近，以及当 k=2 且 0<β≤2 时的左尾渐近。我们还获得了边缘特征值的新随机控制结果。我们的证明结合了三对角矩阵模型的变分论证、最后通行渗流、边缘特征值和的随机比较以及叠加-抽取恒等式。
英文摘要
Hermite and Laguerre $β$-ensembles are important and well studied models in random matrix theory, with the special cases $β=1,2,4$ corresponding to classical matrix ensembles. Although sharp moderate-deviation estimates have been established for the largest eigenvalues, substantially less is known for other edge eigenvalues. Even for the limiting distributions $TW_β^{(k)}$, the leading constants in the tail asymptotics are not known for general $β$ and $k\ge2$. In this paper, for each fixed $k\ge2$, we prove matching upper and lower moderate deviation bounds for the right tail of the $k$-th largest eigenvalue, with the optimal exponential constant $2βk/3$, for general $β$. We also establish sharp lower tail estimates for the second largest eigenvalue of the Gaussian and Laguerre orthogonal ensembles, with exponential constant $1/24$, same as for the largest eigenvalue. For $TW_β^{(k)}$, we obtain matching right-tail asymptotics for $β\ge2/k$ and left-tail asymptotics for $0<β\le2$ for $k=2$. We also obtain new stochastic domination results for the edge eigenvalues. Our proofs combine variational arguments from tridiagonal matrix models, last passage percolation, stochastic comparisons of sums of edge eigenvalues, and superposition-decimation identities.
Comments25 pages
