Kloosterman和的水平矩与筛法的密度版本
Horizontal moments of Kloosterman sums and a density version of sieves
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中文总结 AI 辅助
本研究针对模$n$的标准Kloosterman和，研究其关于$n\leqslant X$的平均矩，得到了和的水平矩渐近估计，通过构造特殊模族结合筛法密度版本与Sato--Tate分布完成上下界证明。
中文摘要 AI 辅助
记$\mathrm{Kl}(a,n)$为模$n$的标准Kloosterman和。本文研究$|\mathrm{Kl}(1,n)|$在$n\leqslant X$上的平均矩，证明了\begin{align*} \sum_{n\leqslant X}|\mathrm{Kl}(1,n)|\asymp X(\log X)^{\frac{8}{3\pi}-1}. \end{align*}下界通过考虑一类以良好方式分解的模子族，使得Kloosterman和的垂直Sato--Tate分布（Katz的变体）得以应用来证明；上界则基于一种新的上界筛法的密度版本，结合算术级数中除数函数的平均以及类似的垂直Sato--Tate分布得到。
英文摘要
Denote by $\mathrm{Kl}(a,n)$ the normalized Kloosterman sum modulo $n$. In this paper, we study the moments of $|\mathrm{Kl}(1,n)|$ on average over $n\leqslant X$, and show that \begin{align*} \sum_{n\leqslant X}|\mathrm{Kl}(1,n)|\asymp X(\log X)^{\frac{8}{3π}-1}. \end{align*} The lower bound is proven by considering a subfamily of moduli which factorize in a nice way such that vertical Sato--Tate distributions of Kloosterman sums (as variants of Katz) apply. The upper bound is based on a new density version of upper bound sieves, combining with averages of divisor functions in arithmetic progressions and a similar vertical Sato--Tate distribution.
发表机构
- School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）
- Institute of Pure Mathematics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学纯数学研究所）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
