大整数参数下广义拉盖尔多项式的不可约性

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对于正整数n，我们研究广义拉盖尔多项式$L_n^{(a)}(x) = \frac{1}{n!}\sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} \frac{(n+a)!}{(j+a)!}(-1)^j x^j$的不可约性，其中$a \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$。早期研究已证明，当$0 \le a \le 50$时，这些多项式在有理数域$\mathbb{Q}$上不可约。本文通过建立$a \le 1000$时$L_n^{(a)}(x)$均不可约的结论，大幅强化了上述结果。我们对潜在整数根推导了更严格的约束，并系统运用相关牛顿多边形的几何性质，该方法可在将显式计算量降至最低的同时，显著扩展不可约性的适用范围。

英文摘要

For a positive integer $n$, we study the irreducibility of the generalised Laguerre polynomials \[ L_n^{(a)}(x) = \frac{1}{n!}\sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} \frac{(n+a)!}{(j+a)!}(-1)^j x^j, \] where $a \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$. Earlier works established that these polynomials are irreducible over $\mathbb{Q}$ for $0 \le a \le 50$. In this paper, we substantially strengthen these results by establishing that $L_n^{(a)}(x)$ are irreducible for all $a \le 1000$. We derive sharper constraints on potential integer roots and make systematic use of the geometry of the associated Newton polygons. This approach allows us to extend the irreducibility range significantly while keeping explicit computations to a minimum.

发表机构

• BITS Pilani K K Birla Goa Campus（比蒂斯·皮拉尼K K比尔拉果阿校区）
• Indian Statistical Institute, Delhi Centre（印度统计学院德里中心）

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