发表机构
San Francisco State University; University of Pennsylvania; Georgia Institute of Technology; University of British Columbia（旧金山州立大学; 宾夕法尼亚大学; 佐治亚理工学院; 不列颠哥伦比亚大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
研究n≥4时ℝⁿ中满足凸Wolff公理的余维二平面Kakeya问题，证明此类δ片的并集具有几乎最大体积，是Wang和Zahl工作的高维推广，还解决了ℝ⁴中满足曲率条件的Rogers 2平面Kakeya问题。
AI 中文摘要
我们研究$(n-2)$-平面在$\mathbb{R}^n$（$n\geq4$）中满足凸Wolff公理的Kakeya问题。换句话说，我们研究$\delta$邻域的有限族，这些邻域是$(n-2)$平面段（$\delta$片）在$\mathbb{R}^n$中的邻域，具有这样的性质：其中不会有太多邻域包含在同一个凸集内。我们的主要结果是，来自此类集合的$\delta$片的并集必须具有几乎最大的体积。这可以看作是Wang和Zahl关于$\delta$管在$\mathbb{R}^3$中工作的高维推广。后者意味着$\mathbb{R}^3$中的Kakeya集猜想。因此，我们在$\mathbb{R}^4$中解决了Rogers的$2$平面Kakeya问题，该问题满足Grassmann流形$\mathrm{Gr}(4,2)$中方向子空间的二维族上的某些曲率条件。
英文摘要
We study the $(n-2)$-plane Kakeya problem in $\mathbb{R}^n$ ($n\geq4$) subject to convex Wolff axioms. In other words, we study finite families of $δ$-neighborhoods of $(n-2)$-plane segments ($δ$-flakes) in $\mathbb{R}^n$, with the property that not too many of them can be contained inside a common convex set. Our main result is that the union of $δ$-flakes from such a set must have almost maximal volume. This can be viewed as a higher-dimensional generalization of Wang and Zahl's work for $δ$-tubes in $\mathbb{R}^3$. The latter implies the Kakeya set conjecture in $\mathbb{R}^3$. As a consequence, we resolve Rogers' $2$-plane Kakeya problem in $\mathbb{R}^4$ subject to certain curvature conditions on two-dimensional families of direction subspaces in the Grassmannian $\mathrm{Gr}(4,2)$.
Comments156 pages, 3 figures
