反典范体积的尖锐多项式上界
Sharp Polynomial Upper Bounds for Anticanonical Volumes
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中文总结 AI 辅助
本文证明了反典范体积的尖锐多项式上界，指数最优，并给出了反典范插值定理，结合多种代数几何工具。
中文摘要 AI 辅助
对于每个正整数 $n$，我们证明存在一个仅依赖于 $n$ 的常数 $C_n$，使得当 $X$ 具有 $\u03b5$-lc 对数 Fano 边界时，$Vol(-K_X) \leq C_n \epsilon^{-(2^n-n-1)}$。该指数在至少二维的所有维度上都是最优的，即使对于 Picard 数为 1 的环面 Fano 簇也是如此。特别地，四维情形的最优指数为 11。我们还证明了一个具有最优指数 $2^n-1$ 的反典范插值定理。证明结合了投影下的符号差异估计、到射影空间的有限态射以及典范丛公式。通过归约到独立于 $\u03b5$ 的有界基，再沿旗进行体积估计，得到了更锐利的体积指数。
英文摘要
For every positive integer $n$, we prove that there is a constant $C_n$, depending only on $n$, such that $Vol(-K_X) \leq C_n ε^{-(2^n-n-1)}$ whenever $X$ admits an $ε$-lc log Fano boundary. The exponent is optimal in every dimension at least two, even for toric Fano varieties of Picard number one. In particular, the optimal exponent for fourfolds is eleven. We also prove an anticanonical interpolation theorem with optimal exponent $2^n-1$. The proof combines signed discrepancy estimates under projection, finite morphisms to projective space, and the canonical bundle formula. A reduction to a base bounded independently of $ε$, followed by a volume estimate along a flag, yields the sharper volume exponent.
发表机构
- Fudan University（复旦大学）
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