AI 中文总结
本文证明若全纯映射芽的微分在原点为零，则其阶数只能为2、3或4，从而将Lê猜想约化为排除这些阶数的反例，方法结合平面曲线奇点、配边构造和Floer同调不变量。
AI 中文摘要
设 $\boldsymbol{n}=(n_1,n_2,n_3):(\mathbb{C}^2,0)\to(\mathbb{C}^3,0)$ 是一个具有单射代表的全纯映射芽。我们证明，若 $(d\boldsymbol{n})_0=0$，则 $\mathrm{ord}_0(\boldsymbol{n})\in\{2,3,4\}$。这将 Lê 猜想约化为排除阶为 $2$、$3$ 和 $4$ 的潜在反例 $\boldsymbol{n}$。证明结合了平面曲线奇点理论、显式配边构造以及通过应用来自纽结 Floer 同调的 $\Upsilon$ 不变量性质得到的亏格下界。
英文摘要
Let $\boldsymbol{n}=(n_1,n_2,n_3):(\mathbb{C}^2,0)\to(\mathbb{C}^3,0)$ be a holomorphic map germ admitting an injective representative. We prove that if $(d\boldsymbol{n})_0=0$, then $\mathrm{ord}_0(\boldsymbol{n})\in\{2,3,4\}$. This reduces Lê's conjecture to excluding potential counterexamples $\boldsymbol{n}$ of orders $2$, $3$, and $4$. The proof combines techniques from the theory of plane curve singularities, explicit cobordism constructions, and genus bounds obtained by applying properties of the $Υ$ invariant coming from knot Floer homology.
Comments24 pages, 7 figures
