AI 中文总结
本文引入量子施蒂费尔流形 $SO_q(2n+1)/SO_q(2n-1)$ 的结晶化 $C^*$-代数，证明其不可约表示是 $q\to0^+$ 的极限，并计算其 $K$-群，进而证明对所有 $q\in(0,1)$ 同构。
AI 中文摘要
本文引入了 $C^*$-代数 $C(SO_q(2n+1)/SO_q(2n-1))$ 的结晶化 $C(SO_0(2n+1)/SO_0(2n-1))$。我们证明了 $C(SO_0(2n+1)/SO_0(2n-1))$ 的每个不可约表示都作为 $q \to 0^+$ 时 $C(SO_q(2n+1)/SO_q(2n-1))$ 的不可约表示族的极限出现。作为推论，我们证明了 $C(SO_0(2n+1)/SO_0(2n-1))$ 是由有限生成元和关系生成的泛 $C^*$-代数。然后我们构造了一个由单位本质短正合序列组成的链，使我们能够计算 $C(SO_0(2n+1)/SO_0(2n-1))$ 的 $K$-群并确定其显式生成元。利用齐次 $C^*$-扩张理论，我们证明了对于每个 $q \in (0,1)$，$C(SO_0(2n+1)/SO_0(2n-1))$ 同构于 $C(SO_q(2n+1)/SO_q(2n-1))$。
英文摘要
In this paper, we introduce the crystallization $C(SO_0(2n+1)/SO_0(2n-1))$ of the $C^*$-algebra $C(SO_q(2n+1)/SO_q(2n-1))$. We show that every irreducible representation of $C(SO_0(2n+1)/SO_0(2n-1))$ arises as the limit, as $q \to 0^+$, of a family of irreducible representations of $C(SO_q(2n+1)/SO_q(2n-1))$. As a consequence, we prove that $C(SO_0(2n+1)/SO_0(2n-1))$ is the universal $C^*$-algebra generated by a finite set of generators and relations. We then construct a chain of unital essential short exact sequences of $C^*$-algebras, enabling us to compute the $K$-groups of $C(SO_0(2n+1)/SO_0(2n-1))$ and determine explicit generators for them. Using the theory of homogeneous $C^*$-extensions, we prove that $C(SO_0(2n+1)/SO_0(2n-1))$ is isomorphic to $C(SO_q(2n+1)/SO_q(2n-1))$ for every $q \in (0,1)$.
