真正的亚$3^n$最小和子集卷积与连接排序
Truly Sub-$3^n$ Min-Sum Subset Convolution and Join Ordering
- University of Technology Nuremberg（纽伦堡工业大学）
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AI总结：
本文通过将最小和子集卷积确定性归约到最小加矩阵乘积，结合次立方算法突破，实现了严格亚$3^n$的拉斯维加斯与确定性算法，并直接应用于数据库连接排序优化。
AI中文摘要：
我们提出了一种从最小和子集卷积到最小加矩阵乘积的确定性归约。我们证明，如果两个$D\times D$矩阵、元素为$\beta$位整数的最小加乘积可以在$D^{3-\delta}\operatorname{poly}(\beta,\log D)$时间内计算，其中$0<\delta<1$为固定有理数，那么$n$元素全集上的最小和子集卷积可以在$(2+2^{-\delta})^n 2^{O(\sqrt n\log(n+1))}\operatorname{poly}(n,\beta)$时间内求解。将该归约与Alman和Vassilevska Williams近期在次立方最小加矩阵乘积上的突破相结合，得到一个期望运行时间为$O^*(2.9987^n)$的拉斯维加斯算法和一个运行时间为$O^*(2.9997^n)$的确定性算法，严格打破了长期存在的$3^n$计算障碍。值得注意的是，这些加速直接转化为数据库查询优化，在$C_{\mathrm{out}}$代价函数下，连接排序获得了相同的期望和确定性运行时间界。
英文摘要：
We present a deterministic reduction from min-sum subset convolution to min-plus matrix product. We show that if the min-plus product of two $D\times D$ matrices with $β$-bit integer entries can be computed in $D^{3-δ}\operatorname{poly}(β,\log D)$ time for a fixed rational $0<δ<1$, then min-sum subset convolution on an $n$-element universe can be solved in $(2+2^{-δ})^n 2^{O(\sqrt n\log(n+1))}\operatorname{poly}(n,β)$ time. Instantiating this reduction with the recent breakthrough on subcubic min-plus matrix product by Alman and Vassilevska Williams gives a Las Vegas algorithm with expected running time $O^*(2.9987^n)$ and a deterministic algorithm with running time $O^*(2.9997^n)$, strictly breaking the longstanding $3^n$ computational barrier. Notably, these speedups translate directly to database query optimization, yielding the same expected and deterministic running-time bounds for join ordering under the $C_{\mathrm{out}}$ cost function.
