非退化代价下熵正则最优传输的一阶 $\Gamma$-展开

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熵正则最优传输（EOT）已成为最优传输领域的关键工具，既提供了理论洞见，又通过Sinkhorn算法实现了高效计算。我们研究当正则化参数 $\varepsilon$ 趋于零时EOT的一阶 $\Gamma$-展开，方法是将EOT重写为相对于与对偶间隙能量相关联的Gibbs测度 $\gibbs$ 的相对熵的最小化。利用Laplace方法的一个温和扩展，我们在对偶间隙、接触集和边际分布的适当假设下，证明了Gibbs测度的收敛性，并推导了非退化地面代价的这一 $\Gamma$-展开。这同时产生了一个熵选择原理，以及对于这类地面代价，EOT代价直至 $o(\varepsilon)$ 的展开，推广了现有结果。

英文摘要

Entropy-regularized optimal transport (EOT) has become a key tool in optimal transport, providing both theoretical insight and efficient computation via the Sinkhorn algorithm. We study the first-order \(Γ\)-expansion of EOT as the regularization parameter \(\varepsilon\) vanishes, by rewriting EOT as the minimization of a relative entropy with respect to a Gibbs measure \(\gibbs\) associated with the duality gap energy. Using a mild extension of the Laplace method, we prove the convergence of the Gibbs measures and derive this \(Γ\)-expansion for non-degenerate ground costs, under suitable assumptions on the duality gap, the contact set and the marginals. This yields at the same time an entropic selection principle and an expansion of the EOT cost up to \(o(\varepsilon)\) for this class of ground costs, generalizing existing results.

发表机构

• Université Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）
• CNRS（法国国家科学研究中心）
• Inria Saclay（法国国家信息与自动化研究所萨克莱分部）
• Institut Universitaire de France（法国大学研究院）
• University of Alberta（阿尔伯塔大学）
• Université Paris-Dauphine – PSL（巴黎多芬大学——PSL大学）
• Inria Paris（法国国家信息与自动化研究所巴黎分部）

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