发表机构
St. Petersburg Department of the Steklov Mathematical Institute of the Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院斯捷克洛夫数学研究所圣彼得堡分部）
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本文推导了随机游走与Lévy过程凸包期望混合体积的显式公式，推广了现有期望体积结果，并应用于正交单形随机投影的平均混合体积计算。
AI 中文摘要
设 $C_1,\ldots,C_k$ 为 $\mathbb{R}^d$ 中独立的部分和过程的凸包，其中每个过程内部的增量是可交换的。我们将期望混合体积 $\mathbb{E} V_d(C_1[m_1],\ldots,C_k[m_k])$（其中 $m_1+\cdots+m_k=d$）表示为增量不相交块和的行列式绝对值的均值；无需一般位置假设。对于具有独立同分布可积增量的随机游走，块和是独立的，该公式将 Barndorff-Nielsen 和 Baxter 以及 Vysotsky 和 Zaporozhets 的期望体积公式推广到混合体积。随后我们证明连续时间对应结果：对于具有有限一阶矩的独立 Lévy 过程，其路径闭凸包的期望混合体积是乘积单纯形上平均绝对行列式的显式积分。对于对称稳定过程，该积分可借助关联的 zonoids 进行求值。作为几何应用，我们计算了相互正交的典型正交单形的随机投影的平均混合体积。
英文摘要
Let $C_1,\ldots,C_k$ be the convex hulls of independent partial-sum processes in $\mathbb{R}^d$ whose increments are exchangeable within each process. We express the expected mixed volume $\mathbb{E} V_d(C_1[m_1],\ldots,C_k[m_k])$, $m_1+\cdots+m_k=d$, through mean absolute determinants of disjoint block sums of the increments; no general-position assumption is needed. For random walks with i.i.d. integrable increments the block sums are independent, and the formula extends the expected-volume formula of Barndorff-Nielsen and Baxter and of Vysotsky and Zaporozhets to mixed volumes. We then prove a continuous-time counterpart: for independent Lévy processes with finite first moments, the expected mixed volume of the closed convex hulls of their paths is an explicit integral of mean absolute determinants over a product of simplices. For symmetric stable processes the integral is evaluated in terms of the associated zonoids. As a geometric application, we compute the mean mixed volume of random projections of mutually orthogonal canonical orthoschemes.
