$G(n)$ 的改进平均界和几乎全部界

中文摘要 AI 辅助

本文研究最小正整数 $G(n)$，使得满足 $a\leq G(n)$ 且 $(a,n)=1$ 的整数 $a$ 生成 $(\nmathbb Z/n\mathbb Z)^\times$。我们证明，对任意 $\varepsilon>0$，有 \\[ \sum_{n\leq x}G(n)\ll_\varepsilon x(\log x)^{8/3+\varepsilon}, \\] 改进了先前已知的界 $\ll x(\log x)^{97}$。我们还无条件证明，对几乎所有的 $n$，有 $G(n)\leq(\log n)^2$。因此，对几乎所有的 $n$，我们得到了与 GRH 下经典逐点界相同的对数指数 $2$。

英文摘要

In this paper we study the least positive integer $G(n)$ such that the integers $a\leq G(n)$ with $(a,n)=1$ generate $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$. We prove that, for every $\varepsilon>0$, \[ \sum_{n\leq x}G(n)\ll_\varepsilon x(\log x)^{8/3+\varepsilon}, \] improving the previously known bound $\ll x(\log x)^{97}$. We also prove that $G(n)\leq(\log n)^2$ for almost all $n$, unconditionally. Thus, for almost all $n$, we obtain the same logarithmic exponent $2$ as in the classical pointwise bound under GRH.

发表机构

• Max Planck Institute for Mathematics（马克斯·普朗克数学研究所）

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