发表机构
University of Pennsylvania; Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（宾夕法尼亚大学; 北京雁栖湖应用数学研究院）
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本文证明了 Kozma 关于中心激发随机游走在所有维度 $d\geq2$ 中访问集收敛到欧几里得球的猜想，并给出访问次数均匀收敛到锥体的结果，同时推广到一般范数情形。
AI 中文摘要
在 ${\mathbb Z}^d$ 上的中心激发随机游走，除了每个位点的第一步具有朝向原点的固定大小漂移外，其运动方式与简单随机游走相同。Kozma（2007）猜想，经过 $n$ 步后，访问集近似为一个半径阶为 $n^{1/(d+1)}$ 的球。我们在每个维度 $d\geq2$ 中证明了这一猜想，并表明重新标度后的访问次数均匀收敛到一个锥体，该锥体是球上漂移产生的势。同样的论证表明，与范数的次梯度相反的漂移会产生该范数的球。在平面中，访问集的外半径和内半径之差至多为 $n^{1/6}$ 乘以 $\log n$ 的幂次，且指数 $1/6$ 不能降低。
英文摘要
A centrally excited random walk on ${\mathbb Z}^d$ moves like simple random walk, except that its first step from each site has a drift of fixed size toward the origin. Kozma (2007) conjectured that after $n$ steps the visited set approximates a ball with radius of order $n^{ 1/(d+1)}$. We prove this in every dimension $d\geq2$ and show that the rescaled numbers of visits converge uniformly to a cone, which is the potential generated by the drift on a ball. The same argument shows that a drift opposite to a subgradient of a norm produces the ball of that norm. In the plane, the outer and inner radii of the visited set differ by at most $ n^{1/6}$ times a power of $\log n$, and the exponent $1/6$ cannot be lowered.
Comments39 pages, 5 figures. Lean formalization: https://github.com/nitromannitol/Centrally-Excited-Random-Walk
