有理四元数代数中极大序的生成集
Generating sets for maximal orders in rational quaternion algebras
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本文研究有理正定四元数代数中极大序的生成集，证明存在由有限个具有素数幂范数的元素生成的显式定理，并讨论其对超奇异同源图的意义。
中文摘要 AI 辅助
给定有理正定四元数代数中的一个极大序 $\mathfrak{O}$，以及一个与 $\mathfrak{O}$ 的判别式互素的素数 $\ell$，本文考虑由具有 $\ell$ 幂范数的元素组成的 $\mathfrak{O}$ 的子集，这些元素作为 $\mathbb{Z}$-代数共同生成 $\mathfrak{O}$。我们证明了关于此类集合存在的两个定理：第一个定理指出，对于任何大于一个显式界限的 $k$，$\mathfrak{O}$ 由范数为 $\ell^k$ 的元素生成；第二个定理指出，存在一个由至多三个元素组成的 $\mathfrak{O}$ 的生成集，每个元素的范数都是 $\ell$ 的幂。我们讨论了这些结果对超奇异同源图研究的启示。作为迈向这些定理的步骤，对于不一定极大的四元数序 $\mathcal{O}$，我们还证明了关于 $\mathcal{O}$ 的 Brandt 矩阵代数的结构结果，以及 $\mathcal{O}$ 的 theta 函数系数的显式界限。此外，还讨论了计算实验。
英文摘要
Given a maximal order $\mathfrak{O}$ in a rational definite quaternion algebra, and a prime $\ell$ coprime to the discriminant of $\mathfrak{O}$, this paper considers subsets of $\mathfrak{O}$ consisting of elements with $\ell$-power norms that together generate $\mathfrak{O}$ as a $\mathbb{Z}$-algebra. We prove two theorems about the existence of such sets: the first states that $\mathfrak{O}$ is generated by elements of norm $\ell^k$ for any $k$ larger than an explicit bound, and the second states that there is a generating set for $\mathfrak{O}$ consisting of at most three elements, each with norm a power of $\ell$. We discuss implications for the study of supersingular isogeny graphs. As steps towards these theorems, for quaternion orders $\mathcal{O}$ that are not necessarily maximal, we also prove structural results about the algebra of Brandt matrices for $\mathcal{O}$ and explicit bounds on the coefficients of the theta function of $\mathcal{O}$. Computational experiments are also discussed.
发表机构
- The Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）
- McGill University（麦吉尔大学）
- Univ. Grenoble Alpes（格勒诺布尔阿尔卑斯大学）
- CNRS（法国国家科学研究中心）
- Grenoble INP（格勒诺布尔国立高等物理、数学与信息学院）
- ENS de Lyon（里昂高等师范学院）
- University of Birmingham（伯明翰大学）
- University of Michigan（密歇根大学）
- Virginia Tech（弗吉尼亚理工学院暨州立大学）
- The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
- Queens College, CUNY（纽约城市大学皇后学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
