发表机构
“Octav Mayer” Institute of Mathematics of the Romanian Academy; Apollonia University; University of Verona（罗马尼亚科学院“奥克塔夫·马耶尔”数学研究所; 阿波罗尼亚大学; 维罗纳大学）
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研究非局部随机最优控制，控制通过椭圆平滑算子作用，证明最优控制存在并导出庞特里亚金型最大值原理，应用于种群动态。
AI 中文摘要
我们研究了一个非局部随机最优控制问题，其中控制通过 $\mathbb{R}^d$ 上的椭圆平滑算子 $\mathcal{S}=(I-\Delta)^{-1}$ 起作用。状态由受控扩散的分布律描述，等价地由系数依赖于 $\mathcal{S}u$ 的受控福克-普朗克方程描述。我们通过变分法中的直接方法证明了最优控制的存在性。然后，我们利用尖峰变分推导出庞特里亚金型最大值原理，这依赖于算子 $\mathcal{S}$ 的尖锐性质。该结果给出了最优控制的逐点最小化规则。我们讨论了该最优控制问题在种群动态情形下的意义。
英文摘要
We study a nonlocal stochastic optimal control problem in which the control acts through the elliptic smoothing operator $\mathcal{S}=(I-Δ)^{-1}$ on $\mathbb{R}^d$. The state is described by the law of a controlled diffusion, equivalently by a controlled Fokker-Planck equation with coefficients depending on $\mathcal{S}u$. We prove the existence of an optimal control by the direct method in the calculus of variations. We then derive a Pontryagin-type maximum principle by spike variations, relying on sharp properties of the operator $\mathcal{S}$. The result yields a pointwise minimisation rule for the optimal control. We discuss the meaning of the optimal control problem in the case of population dynamics.
