关于 Pełczyński 的对称结构唯一性问题

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设 $E$ 和 $F$ 为可分对称 Banach 序列空间，$C_E$ 和 $C_F$ 为可分 Hilbert 空间上相应的紧算子理想。我们证明，若 $C_F$ 同构于 $S_E$ 的一个补子空间，则 $F=\ell_2$。由此可得，若 $C_E$ 同构于 $C_F$，则 $E=F$ 且范数等价。这回答了 Pełczyński 1979 年关于对称结构唯一性的问题。我们还加强了 Arazy 的结果，证明若 $E$ 具有有限余型且 $C_F$ 同构嵌入 $S_E$，则 $F=\ell_2$。对于具有非平凡 Boyd 指数的自反 $F\ne\ell_2$，Lindenstrauss 和 Szankowski 的嵌入定理给出了一个具有平凡余型的可分自反对称序列空间 $E$，使得 $C_F$ 同构嵌入 $S_E$。这为 Arazy 在 1981 年提出的若干问题提供了否定答案。

英文摘要

Let $E$ and $F$ be separable symmetric Banach sequence spaces, and let $C_E$ and $C_F$ be the corresponding ideals of compact operators on a separable Hilbert space. We prove that if $C_F$ is isomorphic to a complemented subspace of $S_E$, then $F=\ell_2$. As a consequence, if $C_E$ is isomorphic to $C_F$, then $E=F$ with equivalent norms. This answers Pełczyński's 1979 question concerning the uniqueness of symmetric structure. We also strengthen Arazy's result by showing that if $E$ has finite cotype and $C_F$ embeds isomorphically into $S_E$, then $F=\ell_2$. For reflexive $F\ne\ell_2$ with non-trivial Boyd indices, the embedding theorems of Lindenstrauss and Szankowski yield a separable reflexive symmetric sequence space $E$ with trivial cotype such that $C_F$ embeds isomorphically into $S_E$. This gives negative answers to several questions raised by Arazy in 1981.

发表机构

• Harbin University of Science and Technology（哈尔滨理工大学）
• Institute for Advanced Study in Mathematics of HIT（哈尔滨工业大学数学研究院）

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