AI 中文总结
本文研究有限群中不含特定线性方程非平凡解的最大子集大小，利用切片秩方法给出上界，并在循环群中构造打破0.5密度障碍的高密度无解集，推广至系数模8规则的方程族。
AI 中文摘要
本文探讨有限群的子集在不包含形如 $aX+bY=cZ+dU$（其中 $a+b=c+d$）的线性方程的非平凡解的情况下，其大小可以有多大。这些方程自然地推广了 Sidon 集的经典概念。我们首先利用 Tao 的切片秩方法，在向量空间 $\mathbb{F}_{p}^{n}$ 中建立了此类无解集合大小的严格上界。接着，我们转向循环群 $\mathbb{Z}_{m}$，并构造了对于非对称方程 $X+5Y=3U+3Z$ 无解的出奇大的集合。这些构造达到了约 $0.5283$ 的对数密度，打破了任何足够大的模数 $m$ 所预期的 $0.5$ 障碍。最后，我们证明这种高密度行为可推广到系数遵循模 $8$ 简单规则的更广泛的方程族。
英文摘要
In this paper, we explore how large a subset of a finite group can be without containing non-trivial solutions to linear equations of the form $aX+bY=cZ+dU$ (where $a+b=c+d$). These equations naturally generalize the classic concept of Sidon sets. Using Tao's slice rank method, we first establish strict upper bounds for the size of such solution-free sets in the vector space $\mathbb{F}_{p}^{n}$. Next, we turn to cyclic groups $\mathbb{Z}_{m}$ and construct surprisingly large sets that have no solutions for the asymmetric equation $X+5Y=3U+3Z$. These constructions achieve a logarithmic density of roughly $0.5283$, breaking the expected $0.5$ barrier for any sufficiently large modulus $m$. Finally, we show that this high-density behavior extends to a wider family of equations whose coefficients follow simple rules modulo $8$.
