发表机构
Tsinghua University（清华大学）
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该论文证明了 Hassanzadeh-Nasrollah Nejad-Simis 猜想，即孤立临界点下欧拉导子不包含于 Tjurina 理想，并推广到一般 Noether 代数，同时构造反例否证积分闭包加强。
AI 中文摘要
我们证明了 Hassanzadeh-Nasrollah Nejad-Simis 猜想：若 $f\in (x_1,\ldots,x_n)^2\subsetneq k[[x_1,\ldots,x_n]]$ 具有孤立临界点且 $\operatorname{char}k=0$，则其欧拉导子 $J_f:f$ 不包含于 Tjurina 理想 $(J_f,f)$ 中。更一般地，若 $A=R/I$ 是非零 Noether 的 $k$-代数，且 $a=[f]\in A$ 是幂零元并满足 $d_{A/k}a=0$，则 $I:f\nsubseteq(I,f)$。对于局部环 $(R,\mathfrak n)$，我们得到更强的非包含关系 $I:f\nsubseteq(I,f)+\mathfrak n(I:f)$。证明将假设的包含关系约化为一个自恰的平方零元素，并通过在对偶数上的正则表示的迹来检测其微分。最后，一个显式的五变量孤立奇点满足 $J_f:f\subseteq\overline{J_f}$，从而否证了 Ma 和 Zuo 提出的积分闭包加强版本。
英文摘要
We prove the Hassanzadeh-Nasrollah Nejad-Simis conjecture: if $f\in (x_1,\ldots,x_n)^2\subsetneq k[[x_1,\ldots,x_n]]$ has an isolated critical point and $\operatorname{char}k=0$, then its Euler conductor $J_f:f$ is not contained in the Tjurina ideal $(J_f,f)$. More generally, if $A=R/I$ is a nonzero Noetherian $k$-algebra and $a=[f]\in A$ is nilpotent with $d_{A/k}a=0$, then $I:f\nsubseteq(I,f)$. For a local ring $(R,\mathfrak n)$ we obtain the stronger noncontainment $I:f\nsubseteq(I,f)+\mathfrak n(I:f)$. The proof reduces a hypothetical containment to a self-exact square-zero element and detects its differential by the trace of a regular representation over the dual numbers. Finally, an explicit five-variable isolated singularity satisfies $J_f:f\subseteq\overline{J_f}$, disproving the integral-closure strengthening proposed by Ma and Zuo.
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