发表机构
Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications (BIMSA); Shanghai Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences (SIMIS); Fudan University（北京数学科学与应用研究院; 上海数学与交叉学科研究院; 复旦大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
该研究确定了缺项序列下凸体避开随机点的最大体积渐近公式，并证明缺项性条件不可被稀疏性替代。
AI 中文摘要
对于一个正实数缺项序列以及任何具有多项式傅里叶衰减的概率测度 $\mu$，我们确定了在 $\mu$-几乎每个 $x$ 下，避开 $x$ 的前 $N$ 个模 $\mathbb Z^d$ 膨胀的凸体的渐近最大体积。在固定凸体的位似拷贝中，最大体积渐近于 $(\log N)/N$。当允许单位立方体中的所有凸体时，它渐近于 $d(\log N)/N$。对于固定凸体 $\Omega\subset\mathbb R^d$ 中的独立均匀点，空凸体的最大体积几乎必然渐近于 $d\operatorname{vol}(\Omega)(\log N)/N$。我们还通过构造一维反例表明，缺项性不能被亚缺项尺度上的稀疏性所替代。
英文摘要
For a positive real lacunary sequence and any probability measure $μ$ with polynomial Fourier decay, we determine, for $μ$-almost every $x$, the asymptotic maximal volume of convex bodies avoiding the first $N$ dilates of $x$ modulo $\mathbb Z^d$. Among homothets of a fixed convex body, the maximal volume is asymptotic to $(\log N)/N$. When all convex bodies in the unit cube are allowed, it is asymptotic to $d(\log N)/N$. For independent uniform points in a fixed convex body $Ω\subset\mathbb R^d$, the maximal volume of an empty convex body is asymptotic to $d\operatorname{vol}(Ω)(\log N)/N$ almost surely. We also show, by constructing a one-dimensional counterexample, that lacunarity cannot be replaced by sparsity on sublacunary scales.
Comments38 pages
