AI 中文总结
本文针对周期系数的多对数函数值，在收敛圆盘外通过解析延拓定义，利用精细Siegel引理和线性无关性判据，给出了其维数的下界，推广了Fischler的结果。
AI 中文摘要
对于任意非零周期函数 f: Z → C，其周期为 N ≥ 1，以及任意非零代数数 z_0，且 z_0 不位于半直线 [e^{2iℓπ/N}, e^{2iℓπ/N}∞[ 上（其中 0 ≤ ℓ ≤ N-1），我们给出了由数 L(f, i, z_0) := ∑_{m=1}^∞ f(m)z_0^m/m^i 张成的 Q(z_0)-向量空间维数的下界，其阶为 sqrt{s/log(s)}。这推广了 Fischler 在 2026 年证明的一个结果，该结果对应于 f 恒等于 1 且 |z_0| ≤ 1 的情形：此时，数 L(f, i, z_0) = Li_i(z_0) 是多对数函数值。除了复平面中的有限条割线外，当 |z_0| > 1 时，我们的结果仍然成立，即在上述数 L(f, i, z_0) 的级数定义不再收敛的区域内，我们通过解析延拓来理解这些数。为了获得这一结果，我们使用 Siegel 引理的一个精细版本构造了数 L(f, i, z_0) 的线性组合，并对其应用了一个推广了 Fischler 所用方法的线性无关性判据。为了验证该判据的假设，我们依赖于多对数函数的积分表示以及一个“Shidlovskii 引理”。
英文摘要
For any non-zero periodic function f\,: Z $\rightarrow$ C of period N ___ 1 and any non-zero algebraic number z\_0 that doesn't lie on a half-line [e^2i${\ell}$$π$/N , e^2i${\ell}$$π$/N $\infty$[, 0 ___ ${\ell}$ ___ N -1, we give a lower bound of order sqrt{s/log(s)} on the dimension of the Q(z\_0 )-vector space spanned by the numbers L(f, i, z\_0 )\,: sum\_{m=1}^$\infty$ f(m)z\_0^m/m^i. This generalizes a result Fischler proved in 2026, corresponding to f identically equal to 1 and |z\_0| ___ 1: in this case, the numbers L(f, i, z\_0 ) = Li\_i (z\_0 ) are polylogarithm values. Except for a finite number of cuts in the complex plane, our result still holds when |z\_0 | > 1, that is in a domain where the series definition above for the numbers L(f, i, z\_0 ) doesn't converge anymore, and we make sense of these numbers through analytic continuation. To obtain this result, we construct linear combinations of the numbers L(f, i, z\_0 ) using a refined version of Siegel's lemma, and we apply to them a linear independence criterion generalizing the one used by Fischler. To check the assumptions of this criterion, we rely on an integral representation of the polylogarithm functions and on a ''Shidlovskii lemma''.
