传递布尔函数的驯顺性

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设 $f_n:\{0,1\}^n\to\{0,1\}$ 为布尔函数，$C_n$ 计数在平稳动力学下单位时间间隔内的变化次数，其中每个坐标以速率一独立地从 Bernoulli$(p_n)$ 分布重新采样。我们证明，若 $f_n$ 是传递的，且对每个 $r>0$ 有 $n\min\{p_n,1-p_n\}^{r}\to\infty$，则 $(C_n)$ 的紧性蕴含 $\mathrm{Var}(f_n)\to0$。这解决了 Forsström 在 $p_n\le 1/2$ 情形下的猜想，并将其对称地推广到任意偏差。证明使用了一个混合跳跃和，其二阶矩受限于低次傅里叶投影的生成元。

英文摘要

Let $f_n:\{0,1\}^n\to\{0,1\}$ be Boolean functions, and let $C_n$ count their changes in a unit time interval under stationary dynamics in which each coordinate is independently resampled at rate one from the Bernoulli$(p_n)$ distribution. We prove that, if $f_n$ is transitive and $n\min\{p_n,1-p_n\}^{r}\to\infty$ for every $r>0$, then tightness of $(C_n)$ implies $\mathrm{Var}(f_n)\to0$. This settles Forsström's conjecture in the $p_n\le 1/2$ regime and extends it symmetrically to arbitrary biases. The proof uses a mixed jump sum whose second moment is bounded by the generator of a low degree Fourier projection.

发表机构

• Shandong University（山东大学）

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