锥流形上临界电磁薛定谔算子的Carleman估计

中文摘要 AI 辅助

我们在维数$d\geq3$的锥奇异空间$(X,g)$上，对具有标度临界电磁奇异势的薛定谔算子$H_{A,V}$建立了$L^p$-$L^q$型Carleman估计，其中度量$g=dr^2+r^2h$，$X=C(Y)=(0,\infty)_r\times Y$是闭黎曼流形$(Y,h)$上的乘积锥。更精确地，我们证明了$$ \\|e^{\tau\phi}u\\|_{L^{2d/(d-2)}(X)}\le C\\,\\|e^{\tau\phi}H_{A,V}u\\|_{L^{2d/(d+2)}(X)} $$，其中二次权$\phi(r)=\tfrac14(\log r)^2$，且对$\tau$一致成立。作为该Carleman估计的一个应用，当截面$Y=\mathbb{S}^{d-1}$时，我们证明了该电磁薛定谔算子的唯一延拓性质。

英文摘要

We establish an $L^p$--$L^q$-type Carleman estimate for the Schrödinger operator $H_{A,V}$ with scaling-critical electromagnetic singular potentials on a conical singular space $(X,g)$ of dimension $d\geq3$, where the metric is $g=dr^2+r^2h$ and $X=C(Y)=(0,\infty)_r\times Y$ is a product cone over the closed Riemannian manifold $(Y,h)$. More precisely, we prove $$ \|e^{τϕ}u\|_{L^{2d/(d-2)}(X)}\le C\,\|e^{τϕ}H_{A,V}u\|_{L^{2d/(d+2)}(X)} $$ with the quadratic weight $ϕ(r)=\tfrac14(\log r)^2$, uniformly in $τ$. As an application of this Carleman estimate, we prove the unique continuation property for this electromagnetic Schrödinger operator when the cross-section is $Y=\mathbb{S}^{d-1}$.

发表机构

• Beijing Institute of Technology（北京理工大学）
• Henan Polytechnic University（河南理工大学）

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