发表机构
Qiuzhen College, Tsinghua University（清华大学求真学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
在可构造宇宙中，对于每个[0,1]中的维数α，存在实数的真余解析子域，其豪斯多夫维数恰为α，且这些子域可统一构造为无参数Π¹₁集合的截面。
AI 中文摘要
根据Edgar--Miller和Bourgain的一个定理，$\mathbb{R}$的解析子环的豪斯多夫维数为$0$或等于$\mathbb{R}$。我们证明这在可构造宇宙中对余解析子域不成立：如果$V=L$，那么对于每个$\alpha\in[0,1]$，存在$\mathbb{R}$的一个真余解析子域，其豪斯多夫维数为$\alpha$。事实上，存在一个单一的无参数$\Pi^1_1$集合$G\subseteq[0,1]\times\mathbb{R}$，其截面$A(\alpha)$是这种域，随$\alpha$严格递增，并且对于$\alpha>0$满足$A(\alpha)=\bigcup_{r<\alpha}A(r)$。
英文摘要
An analytic subring of $\mathbb{R}$ has Hausdorff dimension $0$ or is equal to $\mathbb{R}$, by a theorem of Edgar--Miller and Bourgain. We show that this fails for coanalytic subfields in the constructible universe: if $V=L$, then for every $α\in[0,1]$ there is a proper coanalytic subfield of $\mathbb{R}$ of Hausdorff dimension $α$. In fact there is a single parameter-free $Π^1_1$ set $G\subseteq[0,1]\times\mathbb{R}$ whose sections $A(α)$ are such fields, are strictly increasing in $α$, and satisfy $A(α)=\bigcup_{r<α}A(r)$ for $α>0$.
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