发表机构
INSA Rouen Normandie（鲁昂诺曼底国立应用科学学院）
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本研究将拉普拉斯特征向量原理推广至邻接矩阵与无符号拉普拉斯矩阵，刻画二值图，证明公共特征向量对应顶点同度，且树中A-二值性迫使度全为奇数。
AI 中文摘要
我们研究图变换及其对三个基本图矩阵——邻接矩阵 $A$、无符号拉普拉斯矩阵 $Q$ 和拉普拉斯矩阵 $L$——的特征向量的影响。我们将 Merris 提出的拉普拉斯特征向量边原理和匹配原理推广到 $Q$ 和 $A$。我们还将一些已知的 $L$ 图变换推广到 $Q$ 和 $A$，并证明若图对 $A, L$ 和 $Q$ 具有公共特征向量 $\mathbf{x}$，则对应于 $\mathbf{x}$ 的非零分量的顶点具有相同的度。继我们之前关于 $L$ 的工作之后，我们研究 $A$ 和 $Q$ 的二值图，即存在所有分量均在 $\{-1, 1\}$ 中的特征向量的图。特别地，对于树，我们刻画了 $Q$-二值性，并确立了 $A$-二值性迫使所有顶点度数为奇数。
英文摘要
We study graph transformations and their effects on the eigenvectors of three fundamental graph matrices: the adjacency matrix $A$, the signless Laplacian $Q$, and the Laplacian $L$. We extend the Laplacian eigenvector edge and matching principles introduced by Merris to $Q$ and $A$. We also extend some of the known $L$ graph transformations to $Q$ and $A$ and prove that graphs admitting a common eigenvector $\mathbf{x}$ for $A, L$ and $Q$ are such that vertices corresponding to nonzero components of $\mathbf{x}$ have same degree. Following our previous work for $L$, we investigate bivalent graphs for $A$ and $Q$, that is graphs admitting an eigenvector with all components in $\{-1, 1\}$. In particular, for trees, we characterize $Q$-bivalence and establish that $A$-bivalence forces all vertex degrees to be odd.
