发表机构
Jiangxi University of Finance and Economics; Nanchang Hangkong University（江西财经大学; 南昌航空大学）
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本文研究对数Hardy算子Dirichlet特征值的Faber-Krahn不等式，证明在$\mu\in(-1,0)$时球使第一特征值最小，并构造反例说明$\mu>0$时不等式失效。
AI 中文摘要
本文旨在研究对数Hardy算子 $\mathcal{L}_{\mu}=(-\Delta)^{\ln}+2\mu\log\frac{1}{|x|}$ 在包含原点的有界Lipschitz域 $\Omega\subset\mathbb{R}^{N}$ 上（$\mu>-1$）的Dirichlet特征值 $\{\lambda^{\ln,\mu}_{k}(\Omega)\}_{k\in\mathbb{N}}$ 的Faber-Krahn不等式。我们建立了当 $\mu\in(-1,0)$ 时的Faber-Krahn不等式：在固定体积下，以原点为中心的球使第一特征值最小，且等号仅在该球时成立。最后，我们通过一个显式的两球-管构造证明了当 $\mu>0$ 时该不等式不成立。
英文摘要
The purpose of this paper is to study Faber--Krahn inequality of Dirichlet eigenvalues $\{ λ^{\ln,μ}_{k}(Ω)\}_{k\in \N}$ for the logarithmic Hardy operator \[ \mathcal{L}_μ=(-Δ)^{\ln}+2μ\log\frac{1}{|x|} \] on a bounded Lipschitz domain $Ω\subset\mathbb{R}^{N}$ containing the origin, with $μ>-1$. We establish a Faber--Krahn inequality for $μ\in(-1,0)$, the ball centered at the origin minimizes the first eigenvalue at fixed volume, with equality only for that ball. Finally, we show this inequality fails for $μ>0$ via an explicit two-ball-and-tube construction.
Comments14 pages
