发表机构
KdV Institute for Mathematics, University of Amsterdam; Department of Mathematics, Cornell University（阿姆斯特丹大学KdV数学研究所; 康奈尔大学数学系）
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本文研究紧致群在Keller空间及其流形上的半自由作用，证明不动点集可为单点、Z-集或ANR，并给出形状等价条件下的同胚刻画及有限群作用的同调与K-理论条件。
AI 中文摘要
设 $A$ 是紧致（度量）群 $G$ 在 Keller 空间 $X$（可分 Fréchet 空间的无穷维紧凸子集）上的半自由作用的不动点集。所有 Keller 空间都是同胚的，且所有非平凡紧致李群在所有 $X$ 上都具有唯一不动点的半自由作用（见第 3 节）。我们证明：(1) 若 $A$ 是单点，则它是 $G$ 的具有一致小轨道的半自由作用的不动点集；(2) 若 $A$ 在 $X$ 中具有性质 Z（例如，是无穷余维的），则 $G$ 的作用可替换为具有不动点集 $A$ 和一致小轨道的作用；(3) 若 $A$ 是 ANR，则 $G$ 在 $X$ 上具有半自由作用，其不动点集同胚于任何与 $A$ 形状等价的紧致（度量）空间。推论包括：(a) 每个嵌入 Keller 空间 $X$ 中作为 Z-集的类胞腔集（即平凡形状的连续统）都是所有非平凡紧致李群在 $X$ 上具有一致小轨道的半自由作用的不动点集（推论 \ref{CE}）；(b) （对 P. A. Smith 定理的部分逆命题）若紧致（度量）空间 $Y$ 具有紧致 ANR 的形状，则 $Y$ 嵌入 $X$ 中作为 $X$ 的周期为 $n$ 的同胚的不动点集，当且仅当它在具有 $\mathbb{Z}_{n}$ 系数的 Čech 同调中是零调的。最后，我们 (4) 应用 Cappell、Weinberger 和 Yan 的最新结果 \cite{cwy}，为以 Keller 空间为模型的紧致流形 $M$ 给出同调和代数 K-理论条件，这些条件等价于有限群 $G$ 在 $M$ 上具有指定 ANR 不动点集的半自由作用的存在性；(5) 将 (3) 推广，证明若 $A$ 是 $G$ 在 $M$ 上的半自由作用的不动点集且为 ANR，则任何与 $A$ 形状等价的紧致（度量）空间都同胚于 $G$ 在 $M$ 上的半自由作用的不动点集。
英文摘要
Let $A$ be the fixed point set of a semifree action of a compact (metric) group $G$ on a Keller space $X$ (an infinite-dimensional compact convex subset of a separable Fr\' echet space). All Keller spaces are homeomorphic and all nontrivial compact Lie groups act on all $X$'s semifreely with unique fixed points (see Section 3). We prove (1) if $A$ is a single point, then it is the fixed point set of a semifree action of $G$ with uniformly small orbits, (2) if $A$ has Property Z (e.g., is of infinite codimension) in $X$, then the action of $G$ may be replaced by one with fixed point set $A$ and uniformly small orbits, and (3) if $A$ is an \ANR, then $G$ acts on $X$ semifreely with fixed point set homeomorphic to any compact (metric) space that is Shape equivalent to $A$. Corollaries are (a) every Cell-like set (i.e., continuum of trivial Shape) embedded in a Keller space $X$ as a Z-set is the fixed point set of semifree actions on $X$ with uniformly small orbits of all nontrivial compact Lie groups (Corollary \ref{CE}) and (b) (a partial converse to a Theorem of P.\ A.\ Smith) if a compact (metric) space $Y$ has the Shape of a compact \ANR, then $Y$ embeds in $X$ as the fixed point set of a homeomorphism of $X$ of period $n$ if it is acyclic in \v Cech homology with $\mathbb{Z}_{n}$ coefficients. Finally, we (4) apply recent results of Cappell, Weinberger, and Yan \cite{cwy} to give for a compact manifold $M$ modeled on a Keller space homological and algebraic K-theoretic conditions equivalent to the existence of semifree actions of finite groups $G$ on $M$ with prescribed \ANR\ fixed point sets and (5) generalize (3) to prove that if $A$ is an \ANR\ that is the fixed point set of a semifree action of $G$ on $M$, then every compact (metric) space that is Shape equivalent to $A$ is homeomorphic to the fixed point set of a semifree action of $G$ on $M$.
