发表机构
Hokkaido University（北海道大学）
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研究复二次曲面与复双曲二次曲面中由环群势产生的等变极小拉格朗日曲面，给出闭合判据、稳定性分析及宽度条件。
AI 中文摘要
我们研究了由环群势产生的复二次曲面 $Q_2$ 与复双曲二次曲面 $Q_2^*$ 中的 $\mathbb R$-等变极小拉格朗日曲面的全局与变分性质。在 $Q_2^*$ 情形中，我们在整个相关的 $\mathbb{S}^1$-族中始终在类时轴条件下工作。排除 $Q_2$ 中的平坦情形，我们给出了在 $y$-方向闭合的充要判据：成员 $f^{\lambda_0}$ 闭合当且仅当谱比 $\mu_2/\mu_1$ 为正有理数。闭合参数构成 $\mathbb{S}^1$ 的一个稠密可数子集，而非闭合参数是稠密的且具有全弧长测度。闭合成员在 $Q_2$ 中产生柱面商，在 $Q_2^*$ 中产生环面商。除 $Q_2$ 中的平坦情形外，所考虑的曲面具有无限绝对总曲率。这里在 $Q_2$ 中考虑的等变曲面是不稳定的，而 $Q_2^*$ 中的极小拉格朗日曲面是稳定的。最后，对于 $Q_2$ 中 $y$-闭合曲面的紧致柱面域，我们获得了在边界附近固定变分下哈密顿稳定性与不稳定性的显式充分宽度条件。我们还建立了有限几何临界宽度的存在性，并在平坦情形中显式确定它。
英文摘要
We study global and variational properties of $\mathbb R$-equivariant minimal Lagrangian surfaces in the complex quadric $Q_2$ and the complex hyperbolic quadric $Q_2^*$ arising from loop group potentials. In the $Q_2^*$ case, we work under the timelike-axis condition throughout the associated $\mathbb{S}^1$-family. Excluding the flat case in $Q_2$, we give a necessary and sufficient criterion for closing in the $y$-direction: a member $f^{λ_0}$ closes if and only if the spectral ratio $μ_2/μ_1$ is a positive rational number. The closing parameters form a dense countable subset of $\mathbb{S}^1$, while the non-closing parameters are dense and have full arc-length measure. The closing members yield cylindrical quotients in $Q_2$ and annular quotients in $Q_2^*$. Apart from the flat case in $Q_2$, the surfaces under consideration have infinite absolute total curvature. The equivariant surfaces considered here in $Q_2$ are unstable, whereas minimal Lagrangian surfaces in $Q_2^*$ are stable. Finally, for compact cylindrical domains of the $y$-closing surfaces in $Q_2$, we obtain explicit sufficient width conditions for Hamiltonian stability and instability under variations fixed near the boundary. We also establish the existence of a finite geometric critical width and determine it explicitly in the flat case.
