发表机构
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
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本文给出代数判据，证明高阶Brin--Thompson群nV在n较大时具有Kazhdan性质(T)，并统一证明nV、Aut(F_n)及EL_n(R)均具有性质(T)，附录还证明nV非超线性且非Schatten p-可近似。
AI 中文摘要
我们给出了一个代数判据，用于判定某些群序列$(G_n)_{n\in\mathbb{N}}$最终具有Kazhdan性质$(T)$。作为推论，我们证明了Brin--Thompson群$nV$在$n$较大时具有Kazhdan性质$(T)$。该代数判据提供了一个统一的证明，表明$nV$、$\mathrm{Aut}(F_n)$以及对于有限生成结合幺环$R$的$\mathrm{EL}_n(R)$在$n$较大时均具有性质$(T)$。在由Francesco Fournier-Facio撰写的附录中，证明了当$n$较大时，群$nV$既不是超线性的（特别地，不是sofic的），也不是$\mathrm{MF}$的。此外，对于任意$1\le p<\infty$，它也不是Schatten $p$-可近似的。
英文摘要
We give an algebraic criterion for certain sequences $(G_n)_{n\in\mathbb{N}}$ of groups to have Kazhdan's property $(T)$ eventually. As a consequence, we prove that the Brin--Thompson groups $nV$ have Kazhdan's property $(T)$ for large $n$. The algebraic criterion provides a uniform proof that $nV$, $\mathrm{Aut}(F_n)$ and $\mathrm{EL}_n(R)$ for a finitely generated associative unital ring $R$ have property $(T)$ for large $n$. In an appendix, written by Francesco Fournier-Facio, it is shown that the group $nV$ for large $n$ is neither hyperlinear, in particular not sofic, nor $\mathrm{MF}$. Further, it is not Schatten $p$-approximable for any $1\le p<\infty$.
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