发表机构
Fuzhou University（福州大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
该研究证明无唯一和集合的最小大小 $m(p)$ 在素数 $p$ 上具有近二次下界，并通过构造弱三元平衡种子给出上界，确定其增长阶为 $(\log p)^{2+o(1)}$，但常数因子未定。
AI 中文摘要
设 $m(p)$ 为 $\u005cF_p$ 中至少含两个元素且每个和都有两个不同的无序对表示（允许重复）的最小子集的大小。我们证明，对每个素数 $p\ge64$，有 \\[ m(p)\ge2^{-80}\left(\frac{\log p}{\log\log p}\right)^2. \\] 该论证通过单位枢轴消元压缩完整整数碰撞格。共享随机样本和有界直径森林给出大小为 $n$ 的最小集合的多项式高度的 $O(\sqrt n+n/\log p)$ 个幸存坐标。一个被 $p$ 整除的非零子式随后给出下界。我们还构造弱三元平衡种子，得到 \\[ m(p)\le\frac{(\log p)^2}{2(\log3)^2} +\left(\frac1{4\log3}+o(1)\right) \frac{(\log p)^2}{\log\log p}. \\] 因此，当 $p$ 通过素数趋于无穷时，$m(p)=(\log p)^{2+o(1)}$。$m(p)$ 的常数因子阶仍未确定。
英文摘要
Let $m(p)$ be the least size of a subset of $\F_p$ with at least two elements for which every sum has two distinct representations as unordered pairs, allowing repetition. We prove that, for every prime $p\ge64$, \[ m(p)\ge2^{-80}\left(\frac{\log p}{\log\log p}\right)^2. \] The argument compresses the full integer collision lattice by unit-pivot elimination. A shared random sample and forests of bounded diameter give $O(\sqrt n+n/\log p)$ surviving coordinates of polynomial height for a minimal set of size $n$. A nonzero minor divisible by $p$ then gives the lower bound. We also construct weakly ternary-balanced seeds yielding \[ m(p)\le\frac{(\log p)^2}{2(\log3)^2} +\left(\frac1{4\log3}+o(1)\right) \frac{(\log p)^2}{\log\log p}. \] Consequently $m(p)=(\log p)^{2+o(1)}$ as $p$ tends to infinity through the primes. The constant-factor order of $m(p)$ remains undetermined.
