发表机构
Thai Nguyen University of Sciences; Hung Vuong University; Institute of Mathematics, VAST（太原科学大学; 雄王大学; 越南科学技术翰林院数学研究所）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文引入遗传图类 $\mathcal{P}_\k$，使覆盖理想符号幂的深度上界取等号，并证明其包含距离遗传图且在弦图中恰为无宝石图类。
AI 中文摘要
设 $G$ 为简单图，其覆盖理想 $J(G)$ 位于多项式环 $S = \k[x_1, \ldots, x_n]$ 中。对每个整数 $t \ge 1$，令 $\alpha_t(G)$ 表示 $G$ 中具有交替路径长度 $\ell(M) \le 2t - 1$ 的有序匹配 $M$ 的最大大小。Hang、Tam 和 Vu 证明了对于所有 $t \ge 1$，有 \\[ \operatorname{depth}\left(S/J(G)^{(t)}\right) \le n - 1 - \alpha_t(G) \\]，其中 $J(G)^{(t)}$ 是 $J(G)$ 的第 $t$ 次符号幂。在本文中，我们引入一个自然的遗传图类 $\mathcal{P}_\k$，使得对于每个 $t \ge 1$，上述不等式在该类中取等号。我们证明 $\mathcal{P}_\k$ 包含所有距离遗传图，并且我们表明在弦图类中，$\mathcal{P}_\k$ 恰好与距离遗传图（或无宝石图）类重合。
英文摘要
Let $G$ be a simple graph with cover ideal $J(G)$ in a polynomial ring $S = \k[x_1, \ldots, x_n]$. For each integer $t \ge 1$, let $α_t(G)$ denote the maximum size of an ordered matching $M$ of $G$ with alternating path length $\ell(M) \le 2t - 1$. Hang, Tam, and Vu established that \[ \operatorname{depth}\!\left(S/J(G)^{(t)}\right) \le n - 1 - α_t(G) \] for all $t \ge 1$, where $J(G)^{(t)}$ is the $t$-th symbolic power of $J(G)$. In this paper, we introduce a natural hereditary class of graphs $\mathcal{P}_\k$ for which this inequality holds with equality for every $t \ge 1$. We prove that $\mathcal{P}_\k$ contains all distance-hereditary graphs, and we show that within the class of chordal graphs, $\mathcal{P}_\k$ coincides with the class of distance-hereditary (or gem-free) graphs.
