发表机构
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文证明类型 $A_n$ 的簇单项式在扇形坐标中具有对数凹性与单峰性，通过系数公式、整数线归约和卷积方法，部分证实了相关猜想。
AI 中文摘要
我们证明了类型 $A_n$ 的每个簇单项式在扇形初始簇的Laurent展开中是对数凹且单峰的。我们推导了多边形模型中由相容对角线产生的层状区间乘积的系数公式。在偶数秩情形，我们将扇形坐标中的对数凹性归结为沿整数线的对数凹性。在奇数秩情形，我们利用卷积来处理扇形替换产生的系数和。这为Chen-Huang-Sun的对数凹性猜想和Chen的单峰性猜想提供了部分肯定回答。我们的结果也补充了Shen关于类型 $A_n$ 簇X-簇的典范基元素乘积支撑的研究。
英文摘要
We prove that every cluster monomial of type $A_n$ is log-concave and unimodal with respect to its Laurent expansion in a fan initial cluster. We derive a coefficient formula for laminar interval products arising from compatible diagonals in the polygon model. In even rank, we reduce log-concavity in fan coordinates to log-concavity along integer lines. In odd rank, we use convolution to handle the coefficient sums arising from the fan substitution. This gives partial affirmative answers to the log-concavity conjecture of Chen-Huang-Sun and the unimodality conjecture of Chen. Our result also complements Shen's study on the supports of products of canonical basis elements for cluster X-varieties of type $A_n$.
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