发表机构
Simon Fraser University（西蒙弗雷泽大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究特征 $p$ 中循环 $p$-群的有限度轮廓，通过 Abel--Jacobi 刚性论证证明忠实曲线线性系统次数下界，给出定量 Reichstein--Vistoli 定理并确定部分轮廓，将 Ledet 猜想转化为等价形式。
AI 中文摘要
设 $k$ 为特征 $p$ 的代数闭域。Reichstein 和 Vistoli 证明了每个 $\Z/p^n$-torsor 在次数与 $p$ 互素的域扩张上至多变为一维，且 Ledet 猜想 $\ed_k(\Z/p^n)=n$。利用文献 \cite{PA} 中引入的有限度轮廓 $\edd d_k(\tau)$ 及其跳跃度，我们研究一般的 $\Z/p^n$-torsor $\tgen$，其轮廓记录了次数 $\le d$ 的扩张能吸收多少 Artin--Schreier--Witt 层。一个 Abel--Jacobi 刚性论证（其中 $\tgen$ 的纯超越总空间迫使扭曲曲线上的除子类为常数）表明，忠实 $\Z/p^n$-曲线上的 $G$-稳定线性系统具有次数 $\ge p^{n-1}$。因此，对于 $d<p^{n-1}$，$\edd d_k(\tgen)\ge2$，且对所有 $p$ 和 $n\ge2$，$d_1(\tgen)=p^{n-1}$；特别地，截断塔在次数 $p^{n-2}$ 处是最优的。我们证明了定量的 Reichstein--Vistoli 定理：$d_1^{(p')}(\tgen)\le l_n(p)=1+(p-1)\sum_{j=1}^{n-1}p^{2j-1}$，并表明该界可达：对所有 $p$ 和 $n$，$d_1^{(p')}(\tgen)=l_n(p)$。我们确定了 $(p,n)=(2,2)$ 处的轮廓以及 $(2,3)$ 处除第一个槽位外的所有槽位，其中剩余槽位为 $\ed_k(\Z/8)\in\{2,3\}$，即 Ledet 猜想在层级 3 的情形。我们证明子群公式 $\edd{p}_k(\tau_n)=n-1$ 等价于 Ledet 猜想在层级 $n-1$ 的情形，加上一个关于与 $L$ 不相交的 $\le p$ 次扩张的陈述，因此该轮廓重新定位了 Ledet 猜想，但并未判定它。
英文摘要
Let $k$ be algebraically closed of characteristic $p$. Reichstein and Vistoli showed that every $\Z/p^n$-torsor becomes at most one-dimensional over a field extension of degree prime to $p$, and Ledet conjectured $\ed_k(\Z/p^n)=n$. Using the finite-degree profile $\edd d_k(τ)$ and its jump degrees introduced in \cite{PA}, we study the generic $\Z/p^n$-torsor $\tgen$, whose profile records how many Artin--Schreier--Witt layers an extension of degree $\le d$ can absorb. An Abel--Jacobi rigidity argument, in which the purely transcendental total space of $\tgen$ forces divisor classes on twisted curves to be constant, shows that a $G$-stable linear system on a faithful $\Z/p^n$-curve has degree $\ge p^{n-1}$. Hence $\edd d_k(\tgen)\ge2$ for $d<p^{n-1}$ and $d_1(\tgen)=p^{n-1}$ for all $p$ and $n\ge2$; in particular the truncation tower is optimal in degree $p^{n-2}$. We prove a quantitative Reichstein--Vistoli theorem, $d_1^{(p')}(\tgen)\le l_n(p)=1+(p-1)\sum_{j=1}^{n-1}p^{2j-1}$, and show that it is attained: $d_1^{(p')}(\tgen)=l_n(p)$ for all $p$ and $n$. We determine the profile at $(p,n)=(2,2)$ and every slot but the first at $(2,3)$, where the remaining slot is $\ed_k(\Z/8)\in\{2,3\}$, that is, Ledet's conjecture at level $3$. We show that the subgroup formula $\edd{p}_k(τ_n)=n-1$ is equivalent to Ledet's conjecture at level $n-1$ together with a statement about extensions of degree $\le p$ disjoint from $L$, so that the profile relocates, but does not decide, Ledet's conjecture.
Comments35 pages
