发表机构
Zhejiang University; Nanjing University of Aeronautics and Astronautics（浙江大学; 南京航空航天大学）
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本文证明Bedford-McMullen地毯在相似变换下若交集有正测度，则正交部分必为对角或反对角，且等距情形下仅差平移，加强了2010年猜想。
AI 中文摘要
设$K=K(n,m,\Gamma)$为Bedford-McMullen地毯，其中$n>m\geq2$且$1<\\#\Gamma<nm$，并设$\mu$为$K$上具有严格正权重的自仿测度。我们证明，若相似变换$f$满足$\mu(K\cap f(K))>0$，则其正交部分为对角或反对角矩阵。该结论在定义基底上无需任何算术限制。对于等距变换，我们进一步证明，若$\mu(K\cap f(K))>0$，则$f(K)$与$K$仅相差一个平移，从而在此平面自仿背景下建立了Elekes、Keleti和Máthé于2010年提出的猜想的加强形式。
英文摘要
Let $K=K(n,m,Γ)$ be a Bedford-McMullen carpet with $n>m\geq2$ and $1<\#Γ<nm$, and let $μ$ be a self-affine measure on $K$ with strictly positive weights. We prove that if a similitude $f$ satisfies $μ(K\cap f(K))>0$, then its orthogonal part is diagonal or anti-diagonal. This holds without any arithmetic restrictions on the defining bases. For isometries, we further prove that if $μ(K\cap f(K))>0$ then $f(K)$ and $K$ differ only by a translation, thereby establishing a strengthened form of the 2010 conjecture of Elekes, Keleti and Máthé in this planar self-affine context.
Comments28 pages, 1 figure
