具有保护区和非局部扩散的完全非线性Logistic方程
Fully Nonlinear Logistic Equations with Sanctuary Regions and Nonlocal Diffusion
浏览论文内容
中文总结 AI 辅助
研究带保护区和完全非线性非局部扩散的Logistic方程正解，刻画存在区间并证明唯一性，揭示下端点消失与上端点双尺度爆破现象。
中文摘要 AI 辅助
我们研究有界区域中方程 $Iu+\mu u=k(x)u^p$ 的正解，其中 $p>1$，非负系数 $k$ 可能在保护区域上消失，且 $I$ 是在 Caffarelli--Silvestre 意义下一致椭圆的完全非线性非局部算子。我们利用正主半特征值刻画了尖锐的存在区间，并证明了唯一性。在下端点处，解一致消失，其归一化轮廓收敛到主特征函数。若 $k$ 在保护区 $\Omega_0$ 上消失，则当 $\mu\uparrow\lambda(\Omega_0)$ 时，解在 $\Omega$ 内局部一致爆破。记 $\phi_0=\phi(\cdot,\Omega_0)$ 为 $\Omega_0$ 中归一化的正主特征函数，我们证明 \\[ \frac{u_\mu}{\\|u_\mu\\|_{L^\infty(\Omega)}}\to\phi_0, \qquad \frac{u_\mu}{\\|u_\mu\\|_{L^\infty(\Omega)}^{1/p}} \to\left(\frac{I\phi_0}{k}\right)^{1/p}, \\] 分别在 $\mathbb{R}^n$ 上一致和在 $\Omega\setminus\overline{\Omega_0}$ 上局部一致成立。因此上端点爆破发生在两个不同的尺度上。
英文摘要
We study positive solutions of $Iu+μu=k(x)u^p$ in a bounded domain, where $p>1$, the nonnegative coefficient $k$ may vanish on a sanctuary region, and $I$ is a fully nonlinear nonlocal operator uniformly elliptic in the Caffarelli--Silvestre sense. We characterize the sharp existence interval in terms of positive principal half-eigenvalues and prove uniqueness. At the lower endpoint, the solutions vanish uniformly and their normalized profiles converge to the principal eigenfunction. If $k$ vanishes on a sanctuary $Ω_0$, then, as $μ\uparrowλ(Ω_0)$, the solutions blow up locally uniformly in $Ω$. Writing $ϕ_0=ϕ(\cdot,Ω_0)$ for the normalized positive principal eigenfunction in $Ω_0$, we prove \[ \frac{u_μ}{\|u_μ\|_{L^\infty(Ω)}}\toϕ_0, \qquad \frac{u_μ}{\|u_μ\|_{L^\infty(Ω)}^{1/p}} \to\left(\frac{Iϕ_0}{k}\right)^{1/p}, \] uniformly in $\mathbb{R}^n$ and locally uniformly in $Ω\setminus\overline{Ω_0}$, respectively. Thus the upper-endpoint blow-up occurs on two distinct scales.
发表机构
- Sapienza Università di Roma（罗马大学）
- Waseda University（早稻田大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
