发表机构
Universidad de Chile; Universidad del Bío-Bío（智利大学; 比奥比奥大学）
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构造 $\mathbb{R}^3$ 中双参数 Hurwitz 多项式向量场族，证明在参数开集上每个成员具有鞍型和吸引型两个非恒定周期轨道，回答 Gasull 第 19 个问题并提供反例。
AI 中文摘要
我们构造了 $\mathbb{R}^3$ 中一个双参数多项式向量场族，并证明在参数值的非空开集上，该族的每个成员都是 Hurwitz 的，且具有两个非恒定周期轨道，一个为鞍型，另一个为吸引型。这回答了 Gasull 关于低维动力系统开放问题列表中第 19 个问题，该问题涉及 $\mathbb{R}^3$ 上 Hurwitz 光滑向量场中非恒定周期轨道的存在性。这也为 Hurwitz 多项式向量场中预期不存在非恒定周期轨道提供了反例；该问题源于 1990 年代末 Markus-Yamabe 猜想的第一批反例，并由 Meisters 在他对 Bernat-Llibre 反例的专题 MathSciNet 评论中提出。
英文摘要
We construct a two-parameter family of polynomial vector fields in $\mathbb{R}^3$ and prove that, on a nonempty open set of parameter values, every member of the family is Hurwitz and possesses two non-constant periodic orbits, one of saddle type and one attracting. This answers Problem 19 in Gasull's list of open problems on low-dimensional dynamical systems concerning the existence of non-constant periodic orbits in Hurwitz smooth vector fields on $\mathbb{R}^3$. This also provides counterexamples to the expected non-existence of non-constant periodic orbits for Hurwitz polynomial vector fields; a question that arose from the first counterexamples to the Markus-Yamabe conjecture in the late 1990s and that was stated by Meisters in his featured MathSciNet review of the Bernat-Llibre counterexample.
