八面体递推的极限（带GUE边界数据）
Limit of the octahedron recurrence with GUE boundary data
- School of Technology and Computer Science（技术与计算机科学学院）
- Tata Institute of Fundamental Research（塔塔基础研究院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
AI总结：
研究带GUE边界数据的八面体递推，证明其缩放后随机场收敛于确定性Lipschitz函数，并通过完美匹配公式给出表面张力变分刻画。
AI中文摘要：
我们研究格点四面体 $\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb Z_{\geq0}^4: x_1+x_2+x_3+x_4=n\}$ 上的热带八面体递推，并采用内在的双蜂巢边界定律。设 $M_1^{(n)},M_2^{(n)},M_3^{(n)}$ 为独立的 $n\times n$ 标准GUE矩阵，对于固定的 $\ell_1,\ell_2,\ell_3>0$，令 $ X_r^{(n)}=\ell_r\sqrt n\\,M_r^{(n)},\qquad r=1,2,3. $ 两个上面板上的边界定律是双蜂巢锥上的吉布斯密度，其四个外侧面按指定方向对应于 $X_1^{(n)},X_2^{(n)},X_3^{(n)}$ 以及 $X_1^{(n)}+X_2^{(n)}+X_3^{(n)}$ 的谱。然后我们执行八面体递推扫描，以获得四面体每个格点上的值。将格点位置按 $n^{-1}$ 缩放，递推值按 $n^{-2}$ 缩放后，我们证明所得随机场在概率意义下一致收敛到 $\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb R_{\geq0}^4: x_1+x_2+x_3+x_4=1\}$ 上的确定性Lipschitz函数。对于每个严格内部的格点目标，我们构造一个由三个三角形面板并集支撑的典型平面二分图，并证明递推值的精确完美匹配公式。其变量权重是来自 $X_1^{(n)},X_2^{(n)},X_3^{(n)}$ 的子过程显式交错间隙，以及显式的接缝和匹配无关项。该公式的渐近分析给出了确定性极限的表面张力变分刻画。此匹配规则在当前四单纯形设置中提供了Henriques和Speyer所指出的主要簇代数问题所需的那种高维组合公式。
英文摘要：
We study the tropical octahedron recurrence on the lattice tetrahedron $\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb Z_{\geq0}^4: x_1+x_2+x_3+x_4=n\}$ with an intrinsic double-hive boundary law. Let $M_1^{(n)},M_2^{(n)},M_3^{(n)}$ be independent standard $n\times n$ GUE matrices and, for fixed $\ell_1,\ell_2,\ell_3>0$, set $ X_r^{(n)}=\ell_r\sqrt n\,M_r^{(n)},\qquad r=1,2,3. $ The boundary law on the two upper panels is the Gibbs density on the cone of double hives whose four exterior sides correspond, in the prescribed orientations, to the spectra of $X_1^{(n)},X_2^{(n)},X_3^{(n)}$, and $X_1^{(n)}+X_2^{(n)}+X_3^{(n)}$. We then perform an octahedron-recurrence sweep to obtain the value at every lattice point of the tetrahedron. After scaling lattice positions by $n^{-1}$ and recurrence values by $n^{-2}$, we prove that the resulting random field converges uniformly in probability to a deterministic Lipschitz function on $\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb R_{\geq0}^4: x_1+x_2+x_3+x_4=1\}$. For every strictly interior target lattice point we construct a canonical planar bipartite graph supported on a union of three triangular panels and prove an exact perfect-matching formula for the recurrence value. Its variable weights are explicit interlacing gaps from the minor processes of $X_1^{(n)},X_2^{(n)},X_3^{(n)}$, together with explicit seam and matching-independent terms. The asymptotic analysis of this formula yields a surface-tension variational characterization of the deterministic limit. This matching rule supplies, in the present four-simplex setting, the kind of higher-dimensional combinatorial formula identified as a major cluster-algebra problem by Henriques and Speyer.
