发表机构
Indian Institute of Technology Delhi; Indian Institute of Science Education and Research (IISER) Pune（德里印度理工学院; 浦那印度科学教育与研究院（IISER））
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本文研究部分分数阶Grushin算子，通过各向异性伸缩和Riesz型势建立临界Sobolev不等式，并证明极值函数存在性。
AI 中文摘要
我们研究部分分数阶Grushin型算子 \begin{equation} \mathcal L_{\alpha,\beta}u=(-\Delta_x)^\alpha u-(1+\beta)^2|x|^{2\beta}\Delta_y u, \qquad (x,y)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m,\quad 0<\alpha<1,\\ \beta\ge 0, \end{equation} 该算子将$x$方向上的分数阶扩散与$y$方向上的退化局部扩散耦合在一起。利用各向异性伸缩$(x,y)\mapsto(\rho x,\rho^{\alpha+\beta}y)$和适配的拟距离，我们在各向异性柱体上证明了统一的分数阶Grushin-Poincaré不等式，并通过由二进柱体上的 telescoping 和构造的 Riesz 型势，在尖锐临界指数$2^*_{\alpha,\beta}=2Q_{\alpha,\beta}/(Q_{\alpha,\beta}-2\alpha)$处建立了全局Sobolev不等式，其中$Q_{\alpha,\beta}=n+(\alpha+\beta)m$。随后，我们为相关的能量空间建立了集中紧性原理。对于$\beta>0$，权重$|x|^{2\beta}$破坏了$x$方向的平移不变性，我们证明集中现象被限制在退化超平面$\Sigma=\{(0,y):y\in\mathbb{R}^m\}$上；这种局部化性质导致了尖锐常数$S_{\alpha,\beta}(n,m)$的极值函数的存在性。
英文摘要
We study the partially fractional Grushin-type operator \begin{equation} \mathcal L_{α,β}u=(-Δ_x)^αu-(1+β)^2|x|^{2β}Δ_y u, \qquad (x,y)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m,\quad 0<α<1,\ β\ge 0, \end{equation} which couples fractional diffusion in $x$ with degenerate local diffusion in $y$. Working with the anisotropic dilations $(x,y)\mapsto(ρx,ρ^{α+β}y)$ and an adapted quasi-distance, we prove a uniform fractional Grushin-Poincaré inequality on anisotropic cylinders and, via a Riesz-type potential built from a telescoping sum over dyadic cylinders, a global Sobolev inequality at the sharp critical exponent $2^*_{α,β}=2Q_{α,β}/(Q_{α,β}-2α)$, where $Q_{α,β}=n+(α+β)m$. We then establish a concentration-compactness principle for the associated energy space. For $β>0$ the weight $|x|^{2β}$ destroys translation invariance in $x$, and we show that concentration is confined to the degenerate hyperplane $ Σ= \{(0,y):y\in\mathbb{R}^m\}$; this localization yields the existence of extremals for the sharp constant $S_{α,β}(n,m)$.
