Teichmüller 理论中的二次微分与复调和映射

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我们证明 Hitchin-Wolf 的 Teichmüller 空间调和映射参数化、Schwarzian 全纯映射以及 Uhlenbeck 的几乎 Fuchsian 全纯映射都是同一个局部双全纯映射到 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ 特征簇的限制。该映射在拟 Fuchsian 空间的一个开子集上具有右逆，该右逆将调和映射与 Bers 嵌入编码在一起。该构造通过到 $\mathbb{H}^3$ 的有向测地线空间的复调和映射实现。在此过程中，我们进一步发展了复调和映射理论，重点关注自然的 $\mathbb{C}^*$ 作用以及与复射影结构的关系。这引出一个独立的应用：我们在秩二的 Deligne-Hitchin 模空间中获得了某些实扭线的新几何解释，并恢复了 Gothen-Silva 的一个定理。

英文摘要

We show that Hitchin-Wolf's harmonic map parametrization of Teichmüller space, the Schwarzian holonomy map, and Uhlenbeck's almost-Fuchsian holonomy map all arise as restrictions of a single locally biholomorphic map into the $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ character variety. The map admits a right inverse defined on an open subset of quasi-Fuchsian space, encoding harmonic maps together with the Bers embedding. The construction goes through complex harmonic maps to the space of oriented geodesics of $\mathbb{H}^3$. Along the way, we further develop the theory of complex harmonic maps, with a focus on the natural $\mathbb{C}^*$-action and the relation to complex projective structures. This leads to an independent application: we obtain a new geometric interpretation of certain real twistor lines in the rank-two Deligne-Hitchin moduli space and we recover a theorem of Gothen-Silva.

发表机构

• University of Torino（都灵大学）
• University of North Carolina at Chapel Hill（北卡罗来纳大学教堂山分校）

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