发表机构
Peking University; Beijing International Center for Mathematical Research（北京大学; 北京国际数学研究中心）
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本文研究 Banach 序列空间上全纯函数单项式展开的绝对收敛域，刻画了可分空间及 $\ell^p$、$c_0$、$\ell^\infty$ 等空间的收敛域，并构造反例否定 Lempert 问题。
AI 中文摘要
我们研究 Banach 序列空间上全纯函数的单项式展开的绝对收敛域。首先证明，在每个复 Banach 序列空间 $X$ 中，坐标单位向量的闭线性张成之外的每一点，都存在一个连续二次多项式，其单项式展开在该点不绝对收敛。此外，若 $X$ 是可分的，则对每个 Reinhardt 域 $O\subset X$，有 $\mathrm{dom}H(O)=O\cap\mathrm{dom}H(X)$。然后，我们通过构造一个复 Banach 序列空间 $Y\not\cong\ell^1$，使得对每个 Reinhardt 域 $O\subset Y$ 有 $\mathrm{dom}H(O)=O$，从而对 Lempert 的一个问题给出否定回答。我们还确定了 $\ell^p$（$1\leqslant p<\infty$）和 $c_0$ 中每个 Reinhardt 域 $O$ 的 $\mathrm{dom}H(O)$，并获得了 $\mathrm{dom}H(\ell^\infty)$ 和 $\mathrm{dom}H(B_{\ell^\infty})$ 的精确描述。
英文摘要
We study the domains of absolute convergence of monomial expansions of holomorphic functions on Banach sequence spaces. We first show that, in every complex Banach sequence space $X$, each point outside the closed linear span of the coordinate unit vectors admits a continuous quadratic polynomial whose monomial expansion fails to converge absolutely at that point. Moreover, if $X$ is separable, then $\mathrm{dom}H(O)=O\cap\mathrm{dom}H(X)$ for every Reinhardt domain $O\subset X$. We then give a negative answer to a problem of Lempert by constructing a complex Banach sequence space $Y\not\cong\ell^1$ such that $\mathrm{dom}H(O)=O $ for every Reinhardt domain $O\subset Y$. We also determine $\mathrm{dom}H(O)$ for every Reinhardt domain $O$ in $\ell^p$, $1\leqslant p<\infty$, and in $c_0$, and obtain exact descriptions of $\mathrm{dom}H(\ell^\infty)$ and $\mathrm{dom}H(B_{\ell^\infty})$.
