AI 中文总结
本文提出根共轭准则，利用多项式对称迹不变量检测 Nielsen 不等价性，证明映射类群和自由群自同构群具有可数无穷多个生成对的 Nielsen 类，并回答了两个开放问题。
AI 中文摘要
我们提出了一个根共轭准则，用于通过多项式对称迹不变量产生生成对并检测 Nielsen 不等价性。该方法同时处理映射类群和自由群的自同构群。我们证明了对于 $g\ge2$ 的 $\mathrm{Mod}(\Sigma_g)$，以及对于 $n\ge3$ 的 $\mathrm{Aut}(F_n)$、$\mathrm{SAut}(F_n)$、$\mathrm{Out}(F_n)$ 和 $\mathrm{SOut}(F_n)$，存在可数无穷多个生成对的 Nielsen 类。一个符号参数统一了完全和特殊自同构群的构造，具有共同的生成论证和迹多项式。相同的同调表示给出了对于 $g\ge2$ 的 $\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{Z})$，以及对于 $n\ge3$ 的 $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z})$ 和 $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ 的相应结果。这回答了 Hirose–Monden 的低亏格问题和 Kapovich 的问题 8.1。
英文摘要
We formulate a root-conjugation criterion for producing generating pairs and detecting Nielsen inequivalence by a polynomial symmetric-trace invariant. The method simultaneously treats mapping class groups and automorphism groups of free groups. We prove that $\mathrm{Mod}(Σ_g)$, $g\ge2$, and $\mathrm{Aut}(F_n)$, $\mathrm{SAut}(F_n)$, $\mathrm{Out}(F_n)$ and $\mathrm{SOut}(F_n)$, $n\ge3$, have countably infinitely many Nielsen classes of generating pairs. A sign parameter unifies the full and special automorphism-group constructions, with common generation arguments and trace polynomials. The same homology representations give the corresponding results for $\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{Z})$, $g\ge2$, and $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z})$ and $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$, $n\ge3$. This answers Hirose--Monden's low-genus question and Kapovich's Question 8.1.
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