发表机构
Max Planck Institute for Mathematics; Babeş-Bolyai University（马克斯·普朗克数学研究所; 巴比什-波雅依大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文证明椭圆曲线覆盖的新代数点集在大多数数域中为空，给出计数上界及具体模曲线例子，补充了Khawaja-Siksek的猜想证据。
AI 中文摘要
对于一条光滑射影曲线 $C/\mathbb{Q}$，其亏格 $\geq 2$，以及 $L/\mathbb{Q}$ 的一个扩张，我们记 $C(L)_{\text{new}}=\{P\in C(L):\mathbb{Q}(P)=L\}$。Khawaja 和 Siksek 近期的工作猜想：当按绝对判别式排序时，对于 $100\\%$ 的 $n$ 次数域 $L$，该集合为空。此外，他们为 $C$ 是 $\mathbb{P}^1$ 的 $n$ 次覆盖的情形提供了支持这一猜想的证据。我们通过证明椭圆曲线 $E$ 的 $n$ 次覆盖 $\psi:C\to E$ 的类似结果来补充他们的工作。我们的主要结果表明，在适当假设下，使得 $C(L)_{\text{new}}\neq\varnothing$ 的、绝对判别式至多为 $X$ 的本原 $n$ 次数域 $L$ 的不同绝对判别式的数量为 $O(X^{1/2})$ 或 $O(X/(\log X)^{\alpha})$，其中 $\alpha>0$。在次数 $2,3,4,5$ 时，我们证明这些域在所有同次数域中的密度为 $0$（在次数 $4$ 时，也在本原域中密度为 $0$）。新颖之处在于次数 $4$ 和 $5$ 的情形，我们使用 Bhargava--Shankar--Wang 以及 McGown--Thorne--Tucker 的工作来计数具有指定局部约束的域。此外，我们给出了 $8$ 条双椭圆模曲线 $X_0(N)$ 的具体例子，对于这些曲线，$X_0(N)(L)_{\text{new}}=\emptyset$ 对 $100\\%$ 的二次域 $L$ 成立。最后，我们指出 LMFDB 中次数为 $3$ 和 $5$ 的模覆盖，对于这些覆盖也有类似的结论成立。
英文摘要
For a smooth projective curve $C/\mathbb{Q}$ of genus $\geq 2$ and $L/\mathbb{Q}$ an extension, we write $C(L)_{\text{new}}=\{P\in C(L):\mathbb{Q}(P)=L\}$. Recent work of Khawaja and Siksek conjectures that this set is empty for $100\%$ of degree $n$ number fields $L$, when ordered by absolute discriminant. Moreover, they bring evidence towards this conjecture when $C$ is a degree $n$ cover of $\mathbb{P}^1$. We complement their work by proving analogous results for degree $n$ covers $ψ:C\to E$ of elliptic curves $E$. Our main result shows that, under suitable hypotheses, the number of distinct absolute discriminants at most $X$ of primitive degree $n$ fields $L$ with $C(L)_{\text{new}}\neq\varnothing$ is $O(X^{1/2})$ or $O(X/(\log X)^α)$, for some $α>0$. In degrees $2,3,4$ and $5$ we show that these fields have density $0$ among all fields of the same degree (in degree $4$, also among the primitive ones). The novelty is for degrees $4$ and $5$, where we use work of Bhargava--Shankar--Wang and McGown--Thorne--Tucker to count fields with specified local constraints. Moreover, we give concrete examples of $8$ bielliptic modular curves $X_0(N)$, for which $X_0(N)(L)_{\text{new}}=\emptyset$ for $100 \%$ of quadratic fields $L$. Lastly, we point out modular covers of degrees $3$ and $5$ in the LMFDB for which similar conclusions hold.
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