曲线上向量丛模空间半稳定退化的几何
Geometry of a semistable degeneration of moduli of vector bundles on curves
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中文总结 AI 辅助
研究具有一个节点的不可约曲线上稳定秩2度1向量丛的Gieseker模空间，通过两步爆破和自然对合粘合描述其正规化，计算了Picard群、虚拟Poincaré多项式及交集上同调的闭式公式。
中文摘要 AI 辅助
我们研究了在具有一个节点的不可约曲线 $X_0$ 上稳定秩为 2、度为 1 的向量丛的 Gieseker 模空间 $\mathcal{M}_{X_0}$。其正规化是正规化曲线 $\tilde X_0$ 上广义抛物丛模空间的两步爆破，而 $\mathcal{M}_{X_0}$ 通过沿边界上的自然对合粘合而恢复。由此我们计算了 $\operatorname{Pic}(\mathcal{M}_{X_0})$，并通过 Harder--Narasimhan 分层计算了 $\mathcal{M}_{X_0}$ 的虚拟 Poincaré 多项式。由于正规化态射是小态射，$\mathcal{M}_{X_0}$ 的交集上同调等于光滑正规化的普通上同调，这给出了用算术亏格表示的闭式公式。
英文摘要
We study the Gieseker moduli space $\mathcal{M}_{X_0}$ of stable rank-$2$, degree-$1$ vector bundles on an irreducible curve $X_0$ with one node. Its normalization is a two-step blow-up of the moduli space of generalized parabolic bundles on the normalization $\tilde X_0$, and $\mathcal{M}_{X_0}$ is recovered by gluing along a natural involution on the boundary. From this we compute $\operatorname{Pic}(\mathcal{M}_{X_0})$ and, via a Harder--Narasimhan stratification, the virtual Poincaré polynomial of $\mathcal{M}_{X_0}$. Since the normalization morphism is small, the intersection cohomology of $\mathcal{M}_{X_0}$ equals the ordinary cohomology of the smooth normalization, which gives a closed formula in terms of the arithmetic genus.
