发表机构
School of Mathematics and Statistics, HNP-LAMA, Central South University（中南大学数学与统计学院，HNP-LAMA）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文证明了 Keevash--Mubayi 单纯形簇猜想，即不含 $d$-单纯形簇的 $k$ 均匀超图边数至多 $\binom{n-1}{k-1}$，且等号仅当所有边含固定点时成立。
AI 中文摘要
一个 $d$-单纯形簇是 $d+1$ 个不同的 $k$ 元集合的集合，其总交集为空，任意 $d$ 个成员的交集非空，且并集大小至多为 $2k$。我们证明了 Keevash 和 Mubayi 的单纯形簇猜想，该猜想是 Erdős--Chvátal 单纯形猜想和 Mubayi 簇猜想的共同加强。更精确地，对于整数 $k>d\ge2$ 且 $n\ge k(d+1)/d$，每个不含 $d$-单纯形簇的 $n$ 元集合的 $k$ 元子集族至多有 $\binom{n-1}{k-1}$ 个成员。等号成立当且仅当该族由所有包含某个固定点的 $k$ 元子集组成。
英文摘要
A $d$-simplex-cluster is a collection of $d+1$ distinct $k$-element sets with empty total intersection, nonempty intersection for every $d$ members, and union of size at most $2k$. We prove the simplex-cluster conjecture of Keevash and Mubayi, a common strengthening of the Erdős--Chvátal simplex conjecture and Mubayi's cluster conjecture. More precisely, for integers $k>d\ge2$ and $n\ge k(d+1)/d$, every family of $k$-element subsets of an $n$-element set containing no $d$-simplex-cluster has at most $\binom{n-1}{k-1}$ members. Equality holds if and only if the family consists of all $k$-element subsets containing a fixed point.
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