与有限环 $\mathbb{F}_p[x]/\langle x^4 \rangle$ 相关的基于图的线性码

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我们研究了由有限局部环 $R = \mathbb{F}_p[x]/\langle x^4 \rangle$（其中 $p$ 为奇素数）的零因子图 $\Gamma(R)$ 导出的线性码。利用 $Z^*(R)$ 的一个均衡划分，我们确定了 $\Gamma(R)$ 的二元关联码的参数，并构造了达到对偶最小距离 $4$ 的诱导二分图子图码。在 $\mathbb{F}_p$ 上，我们参数化了邻接码和拉普拉斯码，通过 MacWilliams 恒等式推导出拉普拉斯码的闭式重量分布，并确立了其 LCD 性质。此外，我们确定了该图及其矩阵码的自同构群。最后，从 $\Gamma(R)$ 的极值子图出发，我们在 $\mathbb{F}_p$ 上构造了两族 Griesmer 最优线性码，包括一个常重量最小码和一个最优二重量码。

英文摘要

We investigate the linear codes derived from the zero-divisor graph $Γ(R)$ of the finite local ring $R = \mathbb{F}_p[x]/\langle x^4 \rangle$ for an odd prime $p$. Using an equitable partition of $Z^*(R)$, we determine the parameters of the binary incidence code of $Γ(R)$ and construct induced bipartite subgraph codes achieving dual minimum distance $4$. Over $\mathbb{F}_p$, we parameterize the adjacency and Laplacian codes, derive the closed-form weight distribution of the Laplacian code via the MacWilliams identity, and establish its LCD property. Additionally, we determine the automorphism groups of the graph and its matrix codes. Finally, from extremal subgraphs of $Γ(R)$, we construct two families of Griesmer-optimal linear codes over $\mathbb{F}_p$, comprising a constant-weight minimal code and an optimal two-weight code.

发表机构

• Visva-Bharati（维斯瓦-巴拉蒂大学）
• Indian Institute of Technology Madras（印度理工学院马德拉斯分校）

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