发表机构
University of Bristol; Université Savoie Mont Blanc（布里斯托大学; 萨瓦蒙布朗大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究凸域上扭转函数梯度最大值的形状优化，证明其范数在边界取得且稳定，并在体积或周长约束下证明极大值存在且具有对称性和边界球结构。
AI 中文摘要
我们分析了凸域 $\Om\subset\mathbb{R}^d$ 中扭转函数 $w_\Om$ 的梯度的边界行为。我们证明其 $L^\infty$-范数在边界点处取得，并建立了该范数在一般（凸）扰动下的稳定性。对于形如 $$\sup\{\\|\nabla w_{\Om}\\|_\infty: \Om \subset \R^d,\textup{开、有界且凸}, G(\Om)=m\}$$ 的问题，其中 $G$ 为体积或周长，我们证明了极大值的存在性，这些极大值是 $C^1$-光滑的，关于某轴对称，并且其边界包含一个（尺寸估计的）$(d-1)$-维球。其他约束，无论是几何的（如直径或外接半径）还是变分的（如扭转或第一 Dirichlet 特征值），也进行了简要讨论，并强调了它们的一些特征行为。
英文摘要
We analyse the boundary behaviour of the gradient of the torsion function $w_\Om$ in convex domains $\Om\subset\mathbb{R}^d$. We prove that its $L^\infty$-norm is attained at a boundary point and establish the stability of this norm under general (convex) perturbations. For problems of the form $$\sup\{\|\nabla w_{\Om}\|_\infty: \Om \subset \R^d,\textup{open, bounded and convex}, G(\Om)=m\},$$ where $G$ is either volume or perimeter, we show the existence of maximisers which are $C^1$-smooth, rotationally symmetric about an axis and contain a $(d-1)$- dimensional ball (of estimated size) in their boundary. Other constraints, whether geometric (such as diameter or circumradius) or variational (such as torsion or first Dirichlet eigenvalue), are also briefly discussed, and some of their characteristic behaviours are highlighted.
Comments31 pages, 2 figures
