发表机构
University of Cambridge; Alfréd Rényi Institute of Mathematics; Faculty of Science, University of Zagreb; Institute of Science and Technology Austria（剑桥大学; 阿尔弗雷德·雷尼数学研究所; 萨格勒布大学理学院; 奥地利科学技术研究所）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文证明了任意$n$顶点树嵌入到最大度为$d$的$n$顶点图的标号嵌入数不超过$(d/e)^n\exp(o_d(1)n)$，该界精确且误差依赖必要，并由此回答了关于均匀随机生成树同构类的猜想，证明采用Brégman不等式与熵方法。
AI 中文摘要
我们证明，任意$n$顶点树$T$到最大度为$d$的$n$顶点图$G$的标号嵌入数满足 $$ \mathrm{inj}(T,G) \leq (d/e)^n \exp(o_d(1) n). $$ 该界在确定$o_d(1)$之前是精确的，即使对于路径也是如此，并且误差$\exp(o_d(1)n)$对$d$的依赖是必要的。作为直接推论，我们得到了连通$d$-正则图中均匀随机生成树的同构类的最优反集中界，回答了H. Lee的一个猜想。证明结合了Brégman不等式与熵方法。
英文摘要
We prove that the number of labelled embeddings of any $n$-vertex tree $T$ into an $n$-vertex graph $G$ of maximum degree $d$ satisfies $$ \mathrm{inj}(T,G) \leq (d/e)^n \exp(o_d(1) n). $$ The bound is sharp up to determining $o_d(1)$, even for paths, and the dependence of the error $\exp(o_d(1)n)$ on $d$ is necessary. As an immediate corollary, we obtain an optimal anticoncentration bound for the isomorphism class of a uniformly random spanning tree in a connected $d$-regular graph, answering a conjecture of H. Lee. The proof combines Brégman's inequality with entropy methods.
