发表机构
School of Mathematical Sciences, Dalian University of Technology（大连理工大学数学科学学院）
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本文证明三维 Couette 流在临界横向低频控制下具有非线性稳定性，通过端点范数传播和 Fourier 分裂等方法，在无展向谱间隙时仍保持 $O(\nu)$ 阈值。
AI 中文摘要
我们建立了在 $\nmathbb T\times\mathbb R^2$ 上不可压缩 Navier--Stokes 方程三维 Couette 流的非线性稳定性。满足 $\n|u_{\rm in}\\|_{H^2}+\\|u^\perp_{0,\rm in}\\|_{\dot B^{-2}_{2,\infty}}\leq c_*\nu$ 的无散扰动生成保持接近 Couette 流的唯一全局 $H^2$ 解，其中 $u^\perp_{0,\rm in}$ 表示横向速度的流向平均。尽管缺乏展向谱间隙，该结果仍保留了 $O(\nu)$ 的稳定性阈值。非零流向模态表现出增强耗散，其壁法向分量满足粘性一致的时间积分无粘阻尼估计，而横向零模态在 $L^2$ 中以 $(1+\nu t)^{-1}$ 的速率衰减。端点空间 $\dot B^{-2}_{2,\infty}$ 控制横向低频，容纳散度形式的非线性强迫，并且对于壁法向零模态的线性抬升是临界的。证明结合了该端点范数的传播、Fourier 分裂以及两层 roll-to-streak 表示，并采用了 Wei--Zhang (CPAM, 2021) 的非零模态框架的改编。
英文摘要
We establish nonlinear stability of three-dimensional Couette flow for the incompressible Navier--Stokes equations on $\mathbb T\times\mathbb R^2$. Divergence-free perturbations satisfying $\|u_{\rm in}\|_{H^2}+\|u^\perp_{0,\rm in}\|_{\dot B^{-2}_{2,\infty}}\leq c_*ν$ generate unique global $H^2$ solutions that remain close to Couette flow, where $u^\perp_{0,\rm in}$ denotes the streamwise average of the transverse velocity. This result retains the $O(ν)$ stability threshold despite the absence of a spanwise spectral gap. The nonzero streamwise modes exhibit enhanced dissipation, their wall-normal component satisfies a viscosity-uniform time-integrated inviscid-damping estimate, and the transverse zero mode decays in $L^2$ at rate $(1+νt)^{-1}$. The endpoint space $\dot B^{-2}_{2,\infty}$ controls the transverse low frequencies, accommodates divergence-form nonlinear forcing, and is critical for linear lift-up from the wall-normal zero mode. The proof combines propagation of this endpoint norm, Fourier splitting, and a two-level roll-to-streak representation with an adaptation of the nonzero-mode framework of Wei--Zhang (CPAM, 2021).
